Question

Найти наибольшее значение функции y = log(внизу)2(4x - x^2)

Answer 1

Под лагорифмом стойт неполное квадратное ур. Функцией которой будет парабола ветви которой направлены вниз, т.е наибольшее значение функций будет в вершине параболы.

x=-b/2a

x=-4/-2=2

Подставим вместо x=2

 y = log2(4x - x^2)

 y = log2(8 - 4)

 y = log2(4)

 y=2

Ответ: 2.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции `y = log(2, 4x - x^2)`, мы можем использовать метод дифференцирования. Давайте пройдемся по этому процессу пошагово.

Шаг 1: Найти производную функции

Для начала, найдем производную функции `y` по `x`. Производная функции `log(2, u)` по `x` равна `(1/u) * du/dx`.

Для функции `u = 4x - x^2`, производная равна `du/dx = 4 - 2x`.

Теперь мы можем записать производную функции `y`: `dy/dx = (1/u) * du/dx`.

Подставим значения `u = 4x - x^2` и `du/dx = 4 - 2x`: `dy/dx = (1/(4x - x^2)) * (4 - 2x)`.

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки функции находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для нашей функции `y`, мы должны найти значения `x`, при которых `dy/dx = 0` или `dy/dx` не существует.

`dy/dx = (1/(4x - x^2)) * (4 - 2x) = 0`.

Уравнение `(4 - 2x) = 0` дает нам `x = 2`.

Шаг 3: Определить тип критической точки

Чтобы определить тип критической точки, мы должны проанализировать знаки производной вокруг этой точки. Для этого мы можем взять тестовые значения `x` в интервалах до и после критической точки `x = 2` и проверить знаки `dy/dx`.

Выберем `x = 1` (значение до `x = 2`) и подставим в `dy/dx`: `dy/dx = (1/(4*1 - 1^2)) * (4 - 2*1) = (1/3) * 2 > 0`.

Выберем `x = 3` (значение после `x = 2`) и подставим в `dy/dx`: `dy/dx = (1/(4*3 - 3^2)) * (4 - 2*3) = (1/3) * (-2) < 0`.

Мы видим, что `dy/dx` меняет знак с положительного на отрицательный при переходе через `x = 2`. Это означает, что у нас есть локальный максимум функции в точке `x = 2`.

Шаг 4: Найти значение функции в критической точке

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции `y = log(2, 4x - x^2)`, мы должны найти значение `y` в критической точке `x = 2`.

Подставим `x = 2` в исходную функцию: `y = log(2, 4*2 - 2^2) = log(2, 8) = 3`.

Таким образом, наибольшее значение функции `y = log(2, 4x - x^2)` равно `y = 3` при `x = 2`.