Question

Помогите решить pi/3*int(sin x)^2dx

Answer 1

$\frac{\pi}{3}\int (sinx)^2dx=\frac{\pi}{3}\int \frac{1-cos2x}{2} dx=\frac{\pi}{6}\int (1-cos2x)dx=\\\\=\frac{\pi}{6}\cdot (x-\frac{1}{2}\cdot sin2x)+C\\\\P.S.\quad \int cos(kx+b)dx=\frac{1}{k}\cdot sin(kx+b)+C\; ,\; kx+b=2x$

Answer 2

Я могу помочь вам решить интеграл, используя мои внутренние инструменты. Ваш интеграл имеет вид:

$$\frac{\pi}{3}\int \sin^2 x dx$$

Для решения этого интеграла я буду использовать метод подстановки. Пусть $u = \sin x$, тогда $du = \cos x dx$. Тогда интеграл преобразуется в:

$$\frac{\pi}{3}\int u^2 du$$

Этот интеграл легко решить, применив формулу:

$$\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$$

Получаем:

$$\frac{\pi}{3}\int u^2 du = \frac{\pi}{3}\left(\frac{u^3}{3} + C\right)$$

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем окончательный ответ:

$$\frac{\pi}{3}\int \sin^2 x dx = \frac{\pi}{9}\sin^3 x + C$$

Где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

Вы можете проверить свой ответ, используя онлайн-калькуляторы интегралов, такие как [Wolfram|Alpha](https://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/?redirected=true), [Mathway](https://www.mathway.com/Calculator/integral-calculator) или [Symbolab](https://www.symbolab.com/solver/integral-calculator/%5Cint%20sin%5E%7B2%7Dxdx). Они также могут показать вам графики, альтернативные формы и другую полезную информацию, чтобы улучшить ваше математическое понимание.