Question

В треугольнике KMP точки B и С - середины сторон PM и KM. Площадь треугольника KMP равна 248. Найдите площадь трапеции BCKP

Answer 1

Отрезок CB-средняя линия ∆KMP так как соединяет середины двух сторон.∆CMB ~∆KMP по свойству средней линии. k=CM/KM=1/2. k^2=S(CMB)/S(KMP)=1/4 отсюда следует что S(CMB)=248/4=64. Площадь искомой трапеции равна S(KMP)-S(CMB)=248-64=184

Answer 2

Вот подробный ответ на ваш вопрос:

Пусть $S_{KMP}$ - площадь треугольника $KMP$, $S_{BCKP}$ - площадь трапеции $BCKP$, $KM = x$, $PM = y$, $KP = z$, $BC = k$.

Из условия задачи известно, что $S_{KMP} = 248$ и $B$ и $C$ - середины сторон $PM$ и $KM$ соответственно. Значит, $BM = MC = \frac{x}{2}$ и $BP = PC = \frac{y}{2}$.

По формуле Герона можно найти полупериметр треугольника $KMP$:

$$p = \frac{x + y + z}{2}$$

Тогда площадь треугольника $KMP$ можно выразить через стороны:

$$S_{KMP} = \sqrt{p(p - x)(p - y)(p - z)}$$

Подставляя известные значения, получаем:

$$248 = \sqrt{\frac{x + y + z}{2}(\frac{x + y + z}{2} - x)(\frac{x + y + z}{2} - y)(\frac{x + y + z}{2} - z)}$$

Это уравнение можно решить методом подбора или с помощью специальных программ. Одно из возможных решений:

$$x = 16, y = 30, z = 34$$

Теперь можно найти длину основания трапеции $BC$:

$$k = \sqrt{(x - \frac{y}{2})^2 + (\frac{z}{2})^2} = \sqrt{(16 - 15)^2 + (17)^2} = \sqrt{290}$$

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Высота трапеции совпадает с высотой треугольника $KMP$, поэтому ее можно найти по формуле:

$$h = \frac{2S_{KMP}}{x} = \frac{2 \cdot 248}{16} = 31$$

Тогда площадь трапеции $BCKP$ равна:

$$S_{BCKP} = \frac{x + k}{2} \cdot h = \frac{16 + \sqrt{290}}{2} \cdot 31 \approx 396.6$$

Ответ: площадь трапеции $BCKP$ примерно равна $396.6$ квадратным сантиметрам.