Question

Интеграл | pi(сверху) -pi(снизу) xsin(x)cos(x)dx=? Пожалуйста с подробным решением

Answer 1

$I= \int\limits^{\pi}_{-\pi} {xsinxcosx}\, dx$

$\int {xsinxcosx}\, dx = \frac{1}{2} \int xsin2xdx=-\frac{1}{4} \int xd(cos2x)=\\ =-\frac{1}{4} xcos2x+ \frac{1}{4} \int cos2xdx= -\frac{1}{4} xcos2x+ \frac{1}{8} sin2x+C$

$I=(-\frac{1}{4} xcos2x+ \frac{1}{8} sin2x)|_{-\pi}^{\pi}=(-\frac{ \pi }{4} cos2 \pi + \frac{1}{8} sin2 \pi )-\\ -(\frac{ \pi }{4} cos2 \pi - \frac{1}{8} sin2 \pi )=-\frac{ \pi }{4} -\frac{ \pi }{4} =-\frac{ \pi }{2}$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям гласит:

∫ u dv = uv - ∫ v du

В данном случае, мы можем выбрать:

u = x, dv = sin(x)cos(x)dx

Тогда:

du = dx, v = ∫ sin(x)cos(x)dx

Для нахождения значения интеграла ∫ sin(x)cos(x)dx, мы можем использовать формулу половинного угла. Формула половинного угла гласит:

∫ sin(2x)dx = -1/2 * cos(2x) + C

Теперь мы можем вычислить значения u, v, du и ∫ v du:

u = x, dv = sin(x)cos(x)dx

du = dx, v = -1/2 * cos(2x)

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫ x * sin(x)cos(x)dx = x * (-1/2 * cos(2x)) - ∫ (-1/2 * cos(2x))dx

Упрощая это выражение, получаем:

∫ x * sin(x)cos(x)dx = -1/2 * x * cos(2x) + 1/4 * sin(2x) + C

Таким образом, интеграл ∫ pi(сверху) - pi(снизу) x * sin(x)cos(x)dx равен -1/2 * pi * cos(2pi) + 1/4 * sin(2pi) - (-1/2 * (-pi) * cos(2(-pi)) + 1/4 * sin(2(-pi))).

Подставляя значения, получаем:

-1/2 * pi * cos(2pi) + 1/4 * sin(2pi) - (-1/2 * (-pi) * cos(2(-pi)) + 1/4 * sin(2(-pi))) = -1/2 * pi * cos(0) + 1/4 * sin(0) - (-1/2 * (-pi) * cos(0) + 1/4 * sin(0))

Так как cos(0) = 1 и sin(0) = 0, получаем:

-1/2 * pi * 1 + 1/4 * 0 - (-1/2 * (-pi) * 1 + 1/4 * 0) = -1/2 * pi - (-1/2 * (-pi)) = -1/2 * pi + 1/2 * pi = 0

Таким образом, интеграл ∫ pi(сверху) - pi(снизу) x * sin(x)cos(x)dx равен 0.

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение основано на математических принципах и формулах интегрирования.