Question

Найти дифференциалы заданной функции y=cos^3 *2x

Answer 1

Dy/dx = y' = (cos^3 2x)' = (3cos^2 2x)(cos' 2x)(2x)' = 
(3cos^2 2x)(-sin 2x)(2) = -6(sin 2x)(cos^2 2x)

Answer 2

Решение:

Чтобы найти дифференциалы функции \( y = \cos^3(2x) \), мы можем использовать цепное правило дифференцирования.

Вычисление первой производной:

Для начала, мы найдем первую производную функции \( y = \cos^3(2x) \). Применим цепное правило, где внешняя функция - это возведение в степень, а внутренняя функция - \( \cos(2x) \).

\[ \frac{d}{dx}(\cos^3(2x)) = 3\cos^2(2x) \cdot (-\sin(2x) \cdot 2) \] \[ = -6\cos^2(2x)\sin(2x) \]

Вычисление второй производной:

Теперь найдем вторую производную функции \( y = \cos^3(2x) \). Для этого продифференцируем первую производную \( -6\cos^2(2x)\sin(2x) \).

\[ \frac{d}{dx}(-6\cos^2(2x)\sin(2x)) = -6 \cdot 2\cos(2x)(-2\sin(2x))\sin(2x) - 6\cos^2(2x)\cos(2x) \] \[ = 24\cos(2x)\sin^2(2x) - 6\cos^3(2x) \]

Ответ:

Таким образом, первая производная \( \frac{dy}{dx} = -6\cos^2(2x)\sin(2x) \) и вторая производная \( \frac{d^2y}{dx^2} = 24\cos(2x)\sin^2(2x) - 6\cos^3(2x) \).