Question

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 1 черных шаров, во второй - 1 белых и 6 черных и в третьей - только белые шары. Наудачу выбирается одна урна и из неё наугад извлекается шар. а. Какова вероятность того, что этот шар белый? b. Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность, что он извлечен из 1 урны?

Answer 1

a. Для определения вероятности того, что извлеченный шар белый, мы можем использовать формулу условной вероятности. Пусть A - событие извлечения белого шара, B1 - событие выбора первой урны, B2 - событие выбора второй урны, B3 - событие выбора третьей урны.

Тогда вероятность извлечения белого шара можно выразить как: P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + P(A|B3) * P(B3), где P(A|B1), P(A|B2) и P(A|B3) - вероятность извлечения белого шара из каждой урны, а P(B1), P(B2) и P(B3) - вероятность выбора каждой урны.

Из условия известно, что в первой урне 4 белых и 1 черный шар, во второй - 1 белый и 6 черных, а в третьей только белые шары. Таким образом, вероятности выбора урн равны: P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3.

Вероятность извлечения белого шара из каждой урны: P(A|B1) = 4/5, P(A|B2) = 1/7, P(A|B3) = 1.

Подставляя значения в формулу, получаем: P(A) = (4/5) * (1/3) + (1/7) * (1/3) + 1 * (1/3) = 4/15 + 1/21 + 1/3 = 56/105 + 5/105 + 35/105 = 96/105 = 32/35.

Таким образом, вероятность извлечения белого шара равна 32/35.

b. Для определения вероятности того, что извлеченный белый шар происходит из первой урны, мы можем использовать формулу условной вероятности: P(B1|A) = P(A|B1) * P(B1) / P(A).

Подставляя известные значения, получаем: P(B1|A) = (4/5) * (1/3) / (32/35) = 4/15 / 32/35 = 4/15 * 35/32 = 7/24.

Таким образом, вероятность того, что извлеченный шар извлечен из первой урны, равна 7/24.