Question

Розв′яжіть нерівність (х^2-5х-14)/(1-x)≥0.

Answer 1

Ответ:

$(-\infty;\;-2]\cup(1;\;7]$

Пошаговое объяснение:

$\dfrac{x^2-5x-14}{1-x}\ge0\\\dfrac{x^2-7x+2x-14}{1-x}\ge0\\\dfrac{x(x-7)+2(x-7)}{1-x}\ge0\\\dfrac{(x-7)(x+2)}{1-x}\ge0$

По методу интервалов ответом будет:

$x\in(-\infty;\;-2]\cup(1;\;7]$

Answer 2

Ответ:

$(-\infty;-2]\cup(1;7]$

Пошаговое объяснение:

Решим неравенство методом интервалов.

$\frac{x^2-5x-14}{1-x}\ge0$

Для начала разложим числитель на множители. Он представлен квадратным уравнением, его можно разложить по следующей формуле:

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Где x₁ и x₂ - решения квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.

$x^2-5x-14=0\\D=(-5)^2-4*1*(-14)=25+4*14=25+56=81=9^2\\x_1=\frac{5+\sqrt{9^2}}{2*1}=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7\\x_2=\frac{5-\sqrt{9^2}}{2*1}=\frac{5-9}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

$x^2-5x-14=(x-7)(x+2)$

Получаем следующее неравенство:

$\frac{(x-7)(x+2)}{1-x}\ge0$

Введем функцию $f(x)=\frac{(x-7)(x+2)}{1-x}$

Найдем ее область определения:

$D(f): 1-x\ne0\\x\ne1$ (знаменатель дроби не может равняться нулю).

Найдем значения x, при которых функция равна нулю:

$x-7 = 0$ или $x+2=0$

$x=7$ или $x=-2$

Проверяем, подходит ли под область определения (да, подходит).

Затем рисуем числовую прямую, обозначаем на ней точки -2 и 7, а также выколотую точку 1.

Эти три точки разделили числовую прямую на 4 интервала, для каждого числа внутри конкретного интервала знак функции будет одинаковым.

Будем брать по одному любому числу для каждого интервала и проверять знак функции.

Возьмем число 8:

$8-7 > 0\\8 + 2 > 0\\1 - 8 < 0$

Количество выражений меньше нуля нечетное, поэтому у функции будет знак меньше нуля.

Возьмем число 3:

$3-70\\1-3$

Количество выражений меньше нуля четное, поэтому у функции будет знак больше нуля.

Возьмем число 0:

$0-70\\1-0>0$

Количество выражений меньше нуля нечетное, поэтому у функции будет знак меньше нуля.

Возьмем число -3:

$-3-7$

Количество выражений меньше нуля четное, поэтому у функции будет знак больше нуля.

Итого у нас получилось два интервала, в которых функция принимает значение больше нуля: $(-\infty;-2];(1;7]$

Answer 3

Для розв'язання даної нерівності, спочатку треба знайти значення x, при яких вираз (x^2 - 5x - 14)/(1 - x) дорівнює нулю, та значення x, при яких він не визначений. Ці значення є точками, які розділяють діапазони, де нерівність виконується і не виконується.

Знайдення значення x, при яких вираз дорівнює нулю

Для знаходження значення x, при якому вираз (x^2 - 5x - 14)/(1 - x) дорівнює нулю, треба розв'язати рівняння (x^2 - 5x - 14)/(1 - x) = 0. Це означає, що чисельник (x^2 - 5x - 14) дорівнює нулю і знаменник (1 - x) не дорівнює нулю.

Розв'язуємо рівняння (x^2 - 5x - 14) = 0:

x^2 - 5x - 14 = 0

Можна спробувати розв'язати це рівняння шляхом факторизації, але в даному випадку це не працює. Тому, ми використаємо квадратне рівняння:

x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4(1)(-14))) / (2(1))

x = (5 ± √(25 + 56)) / 2

x = (5 ± √81) / 2

x = (5 ± 9) / 2

Таким чином, отримуємо два значення x:

x1 = (5 + 9) / 2 = 14 / 2 = 7

x2 = (5 - 9) / 2 = -4 / 2 = -2

Тепер ми знаємо, що вираз (x^2 - 5x - 14)/(1 - x) дорівнює нулю при x = 7 і x = -2.

Знайдення значення x, при яких вираз не визначений

Для знаходження значення x, при якому знаменник (1 - x) дорівнює нулю, треба розв'язати рівняння 1 - x = 0.

1 - x = 0

x = 1

Таким чином, отримуємо значення x = 1, при якому вираз не визначений.

Побудова числової прямої

Тепер, коли ми знаємо значення x, при яких вираз дорівнює нулю і значення x, при яких він не визначений, ми можемо побудувати числову пряму та визначити діапазони, де нерівність виконується і не виконується.

На числовій прямій розміщуємо точки x = -2, x = 1 та x = 7.

          -2          1           7
           |----------|-----------|

Тепер візьмемо початкові точки між цими значеннями і перевіримо їх виразом (x^2 - 5x - 14)/(1 - x).

Перевірка діапазонів

Перевіримо значення виразу (x^2 - 5x - 14)/(1 - x) в кожному з діапазонів:

1. Діапазон x < -2:

Виберемо x = -3 для перевірки.

(x^2 - 5x - 14)/(1 - x) = ((-3)^2 - 5(-3) - 14)/(1 - (-3))

= (9 + 15 - 14)/(1 + 3)

= 10/4

= 2.5

Оскільки 2.5 не дорівнює нулю і не є негативним числом, то нерівність не виконується в цьому діапазоні.

2. Діапазон -2 < x < 1:

Виберемо x = 0 для перевірки.

(x^2 - 5x - 14)/(1 - x) = ((0)^2 - 5(0) - 14)/(1 - 0)

= (-14)/1

= -14

Оскільки -14 менше нуля, то нерівність виконується в цьому діапазоні.

3. Діапазон x > 1:

Виберемо x = 2 для перевірки.

(x^2 - 5x - 14)/(1 - x) = ((2)^2 - 5(2) - 14)/(1 - 2)

= (4 - 10 - 14)/(-1)

= -20/(-1)

= 20

Оскільки 20 не дорівнює нулю і не є негативним числом, то нерівність не виконується в цьому діапазоні.

Відповідь

Таким чином, розв'язком нерівності (x^2 - 5x - 14)/(1 - x) ≥ 0 є діапазон -2 < x < 1, тобто -2 < x < 1.