Question

1. Записать формулу Тейлора для функции когда 2. Записать формулу Маклорена для функции когда n=2 Помогите пожалуйста!

Answer 1

Ответ: 1)√x≈1+1/2*(x-1)-1/8*(x-1)²+1/16*(x-1)³; 2) √(1+x)≈1+1/2*x-1/8*x².

Пошаговое объяснение:

1) √x≈a0+a1*(x-a)+a2*(x-a)²+a3*(x-a)³, f(a)=f(1)=√1=1, f'(a)=f'(1)=1/2*a^(-1/2)=1/2, f"(a)=-1/4*a^(-3/2)=-1/4, f'''(a)=3/8*a^(-5/2)=3/8, a0=f(a)=1, a1=f'(a)/1!=1/2, a2=f"(a)/2!=-1/8, a3=f'''(a)/3!=1/16. Отсюда √x≈1+1/2*(x-1)-1/8*(x-1)²+1/16*(x-1)³.

2) √(1+x)≈a0+a1*x+a2*x², f(0)=√1=1, f'(0)=1/2*(1)^-1/2=1/2, f"(0)=-1/4*(1)^(-3/2)=-1/4, a0=f(0)=1, a1=f'(0)/1!=1/2, a2=f"(0)/2!=-1/8. Отсюда √(1+x)≈1+1/2*x-1/8*x².

Answer 2

Формула Тейлора для функции

Формула Тейлора позволяет аппроксимировать функцию в окрестности некоторой точки с помощью ее значения и производных в этой точке. Общая формула Тейлора для функции f(x) в окрестности точки x=a выглядит следующим образом:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

где f'(a), f''(a), f'''(a) и т.д. обозначают производные функции f(x) в точке x=a.

Формула Маклорена для функции

Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора, где точка разложения a=0. Для функции f(x) в окрестности точки x=0 формула Маклорена имеет вид:

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ...

где f'(0), f''(0), f'''(0) и т.д. обозначают производные функции f(x) в точке x=0.

Примеры

Давайте рассмотрим примеры применения формулы Тейлора и формулы Маклорена.

1. Формула Тейлора для функции f(x) = sin(x) в окрестности точки x=0:

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

2. Формула Маклорена для функции f(x) = e^x в окрестности точки x=0:

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

Здесь производные функции f(x) в точке x=0 равны: f'(0) = 1, f''(0) = 1, f'''(0) = 1 и т.д.

Пожалуйста, обратите внимание, что в примерах я использовал формулы Тейлора и Маклорена для некоторых известных функций. Для других функций формулы Тейлора и Маклорена могут иметь различные виды в зависимости от производных функции в точке разложения.

Примечание

При ответе на вопросы о математических формулах, рекомендуется использовать математический язык, такой как LaTeX, для более точного и понятного представления формул.