Question

Знаменатель обыкновенной дроби на 5 единиц больше его числителя.Если к числителю и знаменателю этой дроби прибавить 2,то дробь увеличится на 1/8.Найдите эту дробь.​

Answer 1

Числитель пусть будет x, тогда знаменатель x+5. x ≠ -5. По заданию дробь не должна быть отрицательной (обыкновенная дробь состоит из натуральных чисел), то есть x >0; x+5>0, x>-5

$\frac{x}{x + 5} = y$

$\frac{x + 2}{(x + 5) + 2} = y + \frac{1}{8}$

$\frac{x + 2}{x + 7} - \frac{1}{8} = y$

$\frac{x}{x + 5} = \frac{x + 2}{x + 7} - \frac{1}{8}$

$\frac{x }{x + 5} = \frac{8 \times (x + 2) - 1 \times (x + 7)}{8 \times (x + 7)}$

$\frac{x}{x + 5} = \frac{8x + 16 - x - 7}{8x +56 }$

$\frac{x}{x + 5} = \frac{7x + 9}{8x + 56}$

(x+5) и (8x+56) ≠ 0

x ≠ -5; x ≠ -7

$x \times (8x + 56) = (x + 5)(7x + 9)$

$8 {x}^{2} + 56x = 7 {x}^{2} + 9x + 35x + 45$

${x}^{2} + 12x - 45 = 0$

D = 324 = 18^2

$x1 = \frac{ - 12 + 18}{2} = 3$

входит в область допустимых значений x, x>-5, x≠0

$x2 = \frac{ - 12 - 18}{2} = - 15$

не входит в область допустимых значений x

Ответ:

Если x = 3, то дробь

$\frac{3}{8}$

Answer 2

Пусть числитель обыкновенной дроби равен x, тогда знаменатель будет равен x + 5.

Согласно условию задачи, если к числителю и знаменателю прибавить 2, то дробь увеличится на 1/8:

(x + 2) / (x + 5 + 2) = x / (x + 5) + 1/8

Упростим:

(x + 2) / (x + 7) = x / (x + 5) + 1/8

Умножим обе части уравнения на 8(x + 7)(x + 5), чтобы избавиться от знаменателей:

8(x + 2)(x + 5) = 8x(x + 7) + (x + 7)(x + 5)

Раскроем скобки:

8x^2 + 40x + 16x + 80 = 8x^2 + 56x + x^2 + 12x + 35

Сократим подобные слагаемые:

8x^2 + 56x + 80 = 8x^2 + 68x + x^2 + 35

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

8x^2 + 56x - 8x^2 - 68x - x^2 - 35 + 80 = 0

7x - x^2 + 45 = 0

Расставим коэффициенты перед степенями x в порядке убывания:

-x^2 + 7x + 45 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = -1, b = 7, c = 45.

Вычислим дискриминант:

D = 7^2 - 4(-1)(45) = 49 + 180 = 229

Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (7 + √229) / (-2) x2 = (-b - √D) / (2a) = (7 - √229) / (-2)

Таким образом, найдены значения числителя обыкновенной дроби:

x1 = (7 + √229) / (-2) x2 = (7 - √229) / (-2)

Знаменатель обыкновенной дроби будет равен x + 5:

Знаменатель = (7 + √229) / (-2) + 5 Знаменатель = (7 + √229 - 10) / (-2) Знаменатель = (-3 + √229) / (-2)

Таким образом, искомая дробь равна:

(7 + √229) / (-2) / (-3 + √229) / (-2)