Question

Найти сумму квадратов корней уравнения log 0.3(x^2-x-1)=x^2-x-2

Answer 1

Ответ:

5

Пошаговое объяснение:

Пусть $x^2-x-1=t$. Тогда $\log_{0{,}3}{t}=t-1$

Левая часть уравнения — монотонно убывающая функция, правая часть — монотонно возрастающая. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при t = 1 равенство выполняется. Значит, это единственный корень относительно t. Выполним обратную замену:

$x^2-x-1=1\\x^2-x-2=0$

По теореме Виета:

$\displaystyle \left \{ {{x_1+x_2=1} \atop {x_1x_2=-2}} \right. \Rightarrow x=-1,\ 2\Rightarrow x_1^2+x_2^2=1+4=5$

Answer 2

Для начала, решим уравнение log 0.3(x^2-x-1) = x^2-x-2.

Применим свойство логарифма log(ab) = log(a) + log(b), получим:

log 0.3 + log (x^2-x-1) = x^2 - x - 2.

Заметим, что log 0.3 является константой, обозначим ее как C. Тогда получим:

C + log (x^2-x-1) = x^2 - x - 2.

Теперь избавимся от логарифма, применив экспоненту к обеим частям уравнения:

10^(C + log (x^2-x-1)) = 10^(x^2 - x - 2).

Так как 10^(C) = 0.3, то:

0.3 * (x^2 - x - 1) = 10^(x^2 - x - 2).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

0.3x^2 - 0.3x - 0.3 = 10^(x^2 - x - 2).

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

0.3x^2 - 0.3x - 0.3 - 10^(x^2 - x - 2) = 0.

Обозначим 10^(x^2 - x - 2) как a, получим:

0.3x^2 - 0.3x - 0.3 - a = 0.

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно x. Для этого можно воспользоваться квадратным трехчленом:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

В нашем случае:

a = 0.3, b = -0.3, c = -0.3 - a.

Подставим значения и решим:

x = (-(-0.3) ± √((-0.3)^2 - 4 * 0.3 * (-0.3 - a))) / (2 * 0.3).

x = (0.3 ± √(0.09 + 1.2 * (0.3 + a))) / 0.6.

Таким образом, получаем два значения x.

Однако, чтобы найти сумму квадратов корней, нам необходимо знать значения a и подставить их в полученное уравнение для нахождения конкретных значений x.

Поэтому, без знания значения a, мы не можем точно найти сумму квадратов корней данного уравнения.