Question

В треугольнике ABC, площадь которого равна 250, AB=25 и АС=29. Найдите cosA при условии, что угол А тупой. ​

Answer 1

Ответ:

$\angle{A}=\pi - \arcsin{\frac{20}{29}}$

Пошаговое объяснение:

Площадь треугольника можно вычислить по следующей формуле:

$S_{\triangle{ABC}}= \frac{1}{2}\cdot AB\cdot{AC}\cdot\sin\angle{A}$

Отсюда:

$\sin\angle{A} = \frac{2AB\cdot{AC}} {S_{\triangle{ABC}}}$

$\sin\angle{A} = \frac{2 \cdot250}{25 \cdot29} = \frac{20}{29}$

т.к. уг. А тупой, то значит

$\angle{A}=\pi - \arcsin{\frac{20}{29}}$

Answer 2

Для нахождения значения косинуса угла \( A \) воспользуемся формулой косинусов в треугольнике:

\[ \cos A = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}} \]

Где: \( a, b, c \) - длины сторон треугольника, противолежащие углам \( A, B, C \) соответственно.

Из условия задачи у нас даны длины сторон \( AB = 25 \) и \( AC = 29 \), а также известно, что площадь треугольника \( ABC \) равна 250.

Давайте найдем длину третьей стороны \( BC \). Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника через стороны:

\[ \text{Площадь} = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)} \]

Где \( s \) - полупериметр треугольника, \( s = \frac{{a + b + c}}{2} \).

Подставим известные значения:

\[ 250 = \sqrt{s \cdot (s - 25) \cdot (s - 29) \cdot (s - BC)} \]

Далее найдем \( s \):

\[ s = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{25 + 29 + BC}}{2} = \frac{{54 + BC}}{2} = 27 + \frac{{BC}}{2} \]

Подставляем \( s \) в уравнение площади:

\[ 250 = \sqrt{(27 + \frac{{BC}}{2}) \cdot (27 - \frac{{BC}}{2}) \cdot (2) \cdot (27 - BC)} \]

Далее решаем это уравнение, чтобы найти \( BC \). После того, как мы найдем длину стороны \( BC \), мы сможем найти косинус угла \( A \) с помощью формулы косинусов, используя \( BC, AB \) и \( AC \).