Question

1.Найдите наименьшее положительное число X , обладающее следующими свойствами: А) X равен дроби числитель и знаменатель которой – двузначные числа: Б) если числитель этой дроби уменьшить на единицу а знаменатель удвоить то дробь станет равной 1/11. В ответе укажите сумму числителя и знаменателя полученной дроби X . 2.Катя раскладывает конфеты по кучкам : в первую она положила две конфеты во вторую – три конфеты и так далее т.е в каждую следующую кучку она клала на одну конфету больше чем в предыдущую .При этом в последнюю кучку она положила ровно 1/32 часть всех своих конфет а остальные конфеты положила в коробку .Сколько было у Кати кучек и сколько конфет если общее количество кучек и конфет было равно 2012? 3.Три числа в сумме дают 100.Найдите эти числа если известно что первое при делении на третье дает в частном 3 и в остатке 7 а второе при делении на третье дает в частном 2 и в остатке 3 . В ответе запиши три полученных числа в порядке возрастания. 4.Сторона выпуклого четырехугольника в два раза больше противоположной стороны этого четырехугольника. Каждая из диагоналей четырехугольника перпендикулярна одной из двух других его сторон . Найдите угол между диагоналями четырехугольника. 5.На некотором острове имеющем форму треугольника расположены три государства столицы этих государств находятся в вершинах треугольника.Территория острова распределена следующим образом : точка острова принадлежит тому государству к столице которого она ближе всего находится. Если точка расположена на одинаковом расстоянии от двух столиц то она принадлежит границе этих государств . Каким должен быть треугольник изображающий остров чтобы какие либо два из государств не имели общих границ ? а ) тупоугольный. б)остроугольный в ) прямоугольный г) равносторонний

Answer 1

1) Дробь X = m/n
(m - 1)/(2n) = 1/11
Из свойства пропорции получаем
11(m-1) = 2n
m - двузначное и (m-1) - четное, потому что 11 - нечетное.
Значит, m - нечетное. И n делится на 11.
Минимальное m = 11
(m-1)/(2n) = 10/(2n) = 1/11
2n = 11*10 = 110, n = 55
Тогда X = 11/55 = 1/5, а Х должно быть несократимо.
Пусть m = 13, тогда
(m-1)/(2n) = 12/(2n) = 1/11
2n = 11*12 = 132, n = 66
X = 13/66
Ответ: 13+66 = 79

2) Про Катю я уже решал. Кучек 60, конфет 1952.
У Кати всего N конфет - неизвестно, сколько.
В кучках у неё арифметическая прогрессия. a1 = 2; d = 1.
В последней n-ной кучке a(n) = a1+d(n-1) = 2+1(n-1) = n+1
И это 1/32 часть всех конфет. n+1 = N/32.
Общее количество кучек и конфет N + n = 2012.
Получаем систему
{ N = 32(n + 1) = 32n + 32
{ N + n = 32n + 32 + n = 33n + 32 = 2012
n = (2012 - 32)/33 = 1980/33 = 60 - кучек.
N = 32n + 32 = 32*60 + 32 = 1952 - конфет.

3) Числа a, b, c.
a = 3c + 7; b = 2c + 3
a + b + c = 3c + 7 + 2c + 3 + c = 100
6c + 10 = 100
c = 90/6 = 15; a = 3*15 + 7 = 52; b = 2*15 + 3 = 33

4) Не знаю.

5) Чтобы два государства не имели общей границы, одно должно находиться сежду двух других.
Для этого две стороны острова должны быть как можно ближе друг к другу. Треугольник должен быть тупоугольным.
Границы проходят по серединным перпендикулярам к отрезкам, соединяющим столицы.

Answer 2

Решение:

1. Найдите наименьшее положительное число X, обладающее следующими свойствами:

А) X равен дроби, числитель и знаменатель которой – двузначные числа.

Б) Если числитель этой дроби уменьшить на единицу, а знаменатель удвоить, то дробь станет равной 1/11.

Давайте решим эту задачу поэтапно. Первое условие говорит о том, что числитель и знаменатель дроби X должны быть двузначными числами. Значит, мы можем представить X в виде "AB/CD", где A, B, C и D - двузначные числа.

Второе условие говорит о том, что если мы уменьшим числитель на единицу и удвоим знаменатель, то дробь должна стать равной 1/11. То есть:

(AB - 1)/(CD * 2) = 1/11

Для решения этого уравнения, умножим обе стороны на 11 * (CD * 2):

11 * (AB - 1) = CD * 2

Разделим обе стороны на 2:

11 * (AB - 1)/2 = CD

Нам нужно найти наименьшее положительное число X, поэтому попробуем различные значения для A и B, начиная с A = 1 и B = 0. Подставим эти значения в уравнение:

11 * (10 - 1)/2 = 55

Получили число 55. Однако, это число не удовлетворяет условию "X равен дроби, числитель и знаменатель которой – двузначные числа". Поэтому, попробуем другие значения для A и B.

Попробуем A = 1 и B = 1:

11 * (11 - 1)/2 = 55

Получили число 55. Это число удовлетворяет всем условиям задачи. Таким образом, наименьшее положительное число X, которое удовлетворяет данным условиям, равно 55.

Ответ: Сумма числителя и знаменателя полученной дроби X равна 55.

2. Катя раскладывает конфеты по кучкам: в первую она положила две конфеты, во вторую – три конфеты и так далее, т.е. в каждую следующую кучку она клала на одну конфету больше, чем в предыдущую. При этом в последнюю кучку она положила ровно 1/32 часть всех своих конфет, а остальные конфеты положила в коробку. Сколько было у Кати кучек и сколько конфет, если общее количество кучек и конфет было равно 2012?

Давайте решим эту задачу поэтапно. Пусть n - это количество кучек, тогда последняя кучка будет содержать n конфет, вторая кучка будет содержать (n-1) конфету, и так далее. Сумма конфет во всех кучках будет равна:

2 + 3 + 4 + ... + n

Мы также знаем, что последняя кучка содержит 1/32 часть всех конфет, то есть:

n = (1/32) * (2 + 3 + 4 + ... + n)

Теперь нам нужно найти значение n, при котором общее количество кучек и конфет будет равно 2012. Подставим это значение в уравнение:

2012 = (1/32) * (2 + 3 + 4 + ... + n)

Для удобства расчетов, заменим сумму конфет во всех кучках на сумму арифметической прогрессии:

2012 = (1/32) * (n/2) * (2 + n)

Умножим обе стороны на 32:

64384 = n/2 * (2 + n)

Раскроем скобки:

64384 = (n^2 + 2n)/2

Умножим обе стороны на 2:

128768 = n^2 + 2n

Перенесем все в одну сторону:

n^2 + 2n - 128768 = 0

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = 2^2 - 4 * 1 * (-128768)

D = 4 + 515072

D = 515076

Найдем корни уравнения:

n1 = (-2 + sqrt(515076))/2

n2 = (-2 - sqrt(515076))/2

n1 ≈ 358.759

n2 ≈ -360.759

Так как количество кучек не может быть отрицательным, то рассмотрим только положительное значение n1. Округлим его до ближайшего целого числа:

n ≈ 359

Теперь, чтобы найти количество конфет, сложим все числа от 2 до 359:

2 + 3 + 4 + ... + 359 = (359 * (359 + 1))/2 - 1

Количество конфет равно:

64261

Таким образом, у Кати было 359 кучек и 64261 конфета.

Ответ: Количество кучек у Кати равно 359, а количество конфет равно 64261.

3. Три числа в сумме дают 100. Найдите эти числа, если известно, что первое при делении на третье дает в частном 3 и в остатке 7, а второе при делении на третье дает в частном 2 и в остатке 3. В ответе запишите три полученных числа в порядке возрастания.

Давайте решим эту задачу поэтапно. Пусть a, b и c - это три числа, тогда мы можем записать следующие уравнения:

a + b + c = 100

a = 3c + 7

b = 2c + 3

Подставим значения a и b в первое уравнение:

(3c + 7) + (2c + 3) + c = 100

Раскроем скобки и соберем все члены с c в одну сторону:

3c + 7 + 2c + 3 + c = 100

Сложим все члены:

6c + 10 = 100

Перенесем 10 в другую сторону:

6c = 90

Разделим обе стороны на 6:

c = 15

Теперь найдем значения a и b, подставив значение c в уравнения:

a = 3 * 15 + 7 = 52

b = 2 * 15 + 3 = 33

Получили следующие значения:

a = 52, b = 33, c = 15

О