Question

На доске написаны числа от 1 до 100. Каждую минуту два числа стираются, а на доску записывается число равное сумме цифр стертых чисел. Может ли в конце остаться цифра? 15 баллов

Answer 1

Ответ:

0 или 4

Пошаговое объяснение:

Заметим, что из двух четных чисел, появляется четное; из двух нечетных - четное, а из нечетного и четного - нечетное, таким образом после ход кол-во нечетных может уменьшиться на 2, а может не измениться, то есть четность количества нечетных чисел не меняется, так как вначале было 50 нечетных чисел, то в конце останется четное число нечетных чисел, а так как останется в конце только 1 число, то нечетных чисел в конце не будет, то есть ответы 1,9 не подходят. Докажем, что оно может быть равно как 0, так и 4

Первым делом разобьем числа на пары (1,2), (3,4), ... (99,100) выпишем в них модули разности, и у нас останется 50 единиц, тогда разобьем на 25 пар из двух единиц. Теперь в 23 парах запишем модуль разности, то есть 0, а в двух оставшихся сумму, то есть 2. Таким образом у нас остались 2 двойки и куча нулей. Теперь каждый из наших 0 будем складывать с двойкой, чтобы у нас исчезли все 0 и осталось только две двойки. Теперь, когда осталось ровно две двойки, мы можем их сложить, тогда единственным числом будет 4, а можем взять модуль разности, и у нас будет 0. Таким образом, в конце может остаться как 0, так и 4, а 1 и 9 не могу

Answer 2

Да, в конце может остаться цифра. Давайте рассмотрим эту задачу подробнее.

Анализ задачи

У нас есть доска, на которой написаны числа от 1 до 100. Каждую минуту два числа стираются, а вместо них записывается число, равное сумме цифр стертых чисел. Мы хотим определить, может ли в конце остаться цифра.

Решение

Давайте применим логику и посмотрим, как будут меняться числа на доске:

1. На первой минуте мы стираем числа 1 и 2, и записываем число 3 (1 + 2). 2. На второй минуте мы стираем числа 3 и 3, и записываем число 6 (3 + 3). 3. На третьей минуте мы стираем числа 6 и 6, и записываем число 12 (6 + 6).

Мы видим, что сумма цифр стертых чисел удваивается каждую минуту. Это происходит потому, что у нас всего 9 цифр (от 1 до 9), и любая сумма из этих цифр будет меньше 18. После третьей минуты у нас уже будет число больше 9, а значит, оно будет состоять из двух цифр.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что в конце не может остаться цифра. Все числа на доске будут состоять из двух цифр.

Заключение

В конце не может остаться цифра, так как сумма цифр стертых чисел будет удваиваться каждую минуту.