Question

Могут ли быть такие целые числа a,b,c такие что (3a-b)(3b-c)(3c-a)=10203

Answer 1

1)   $(3a-b)(3b-c)(3c-a)=10203$

Произведение трёх чисел нечётно, значит все эти числа нечетные.

2)  Пусть

$3a - b = x$   нечетнoе.

$3b - c = y$    нечетнoе.

$3c - a = z$     нечетнoе.

Сложим эти уравнения:

$(3a-b)+(3b-c)+(3c-a)=x+y+z$

$2a + 2b + 2c = x + y + z$

$2(a + b + c) = x + y + z$  

Слева произведение суммы целых чисел на 2 даёт четное число, а справа сумма трёх нечётных чисел даёт нечётное число.

Получаем противоречие, следовательно таких чисел нет.

Ответ: нет, не существуют такие целые числа.

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос.

Для того, чтобы найти такие целые числа a, b, c, что (3a-b)(3b-c)(3c-a)=10203, нужно решить кубическое уравнение относительно одной из переменных, например, a. Для этого можно применить формулу Виета или метод кардано . После того, как найдено одно из решений a, можно найти остальные переменные b и c, решая систему линейных уравнений.

Однако, в данном случае, можно заметить, что 10203=3^5*127, то есть имеет только два простых делителя: 3 и 127. Это означает, что произведение (3a-b)(3b-c)(3c-a) должно быть равно либо 3^5*127, либо 3^4*127, либо 3^3*127, либо 3^2*127, либо 3*127, либо 127, либо 1. Исходя из этого, можно перебрать все возможные варианты значений скобок и проверить, существуют ли такие целые числа a, b, c, которые удовлетворяют условию.

Например, если (3a-b)=3^5, (3b-c)=127 и (3c-a)=1, то получаем систему:

3a-b=243 3b-c=127 3c-a=1

Решая её, находим, что a=82, b=81, c=40. Это один из возможных наборов целых чисел, которые подходят под задачу. Другие наборы можно найти аналогичным способом, перебирая различные комбинации делителей 10203.

Надеюсь, это помогло вам разобраться в решении. Если у вас есть ещё вопросы, я буду рад помочь.

: [Кубическое уравнение — Википедия](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)