Question

Знайти загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння вищого порядку: y'''+8''+21y'+20y=0

Answer 1

розв'язок на фото

♡♡♡♡♡♡♡♡♡♡♡♡♡♡

Answer 2

Давайте розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння вищого порядку:

\[ y''' + 8y'' + 21y' + 20y = 0 \]

Щоб знайти загальний розв'язок, можемо спробувати знайти характеристичне рівняння, яке виникає підставленням \( y = e^{rt} \) у диференціальне рівняння. Позначимо \( y' \), \( y'' \) і \( y''' \) відповідно за \( r \):

\[ y' = re^{rt} \] \[ y'' = r^2e^{rt} \] \[ y''' = r^3e^{rt} \]

Підставимо ці вирази в початкове рівняння:

\[ r^3e^{rt} + 8r^2e^{rt} + 21re^{rt} + 20e^{rt} = 0 \]

Виділимо \( e^{rt} \) та спростимо рівняння:

\[ e^{rt}(r^3 + 8r^2 + 21r + 20) = 0 \]

Це рівняння має розв'язки для \( r \), які нам потрібні для побудови загального розв'язку.

Тепер розв'яжемо характеристичне рівняння \( r^3 + 8r^2 + 21r + 20 = 0 \). Його можна розв'язати шляхом факторизації чи використовуючи методи розв'язування кубічних рівнянь. Якщо \( r_1, r_2, r_3 \) - це корені характеристичного рівняння, то загальний розв'язок має вигляд:

\[ y(t) = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t} + C_3e^{r_3t} \]

де \( C_1, C_2, C_3 \) - це константи, які визначаються початковими умовами задачі.

Загальний розв'язок залежить від коренів характеристичного рівняння, і вони можуть бути реальними або комплексними числами.