Question

Скласти канонічне рівняння та побудувати еліпс, якщо F1,F2 Є ОУ, 2b=10, |F1F2| =6​

Answer 1

Скласти канонічне рівняння та побудувати еліпс, якщо F1,F2 Є ОУ, 2b=10, |F1F2| =6.

Если фокусы эллипса лежат на оси ординат, то параметр b > a.

Используем заданное значение |F1F2| = 6  расстояния между фокусами и формулу, связывающую значения полуосей: c² = b² - a².

Отсюда найдём значение полуоси а:

a² = b² - c²

Подставим значения b = 10/2 = 5 и с = 6/2 = 3.

Тогда а = √(5² - 3²) = √(25 – 9) = √16 = 4.

Отсюда получаем уравнение эллипса:

(x²/4²) + (y²/5²) = 1.

Answer 2

Для складання канонічного рівняння еліпса необхідно знати його фокуси та велику вісь.

В даному випадку маємо: - F1 та F2 знаходяться на осі у (ОУ) - 2b = 10 (двічі відстань від центра до фокусу F1 або F2) - |F1F2| = 6 (відстань між фокусами F1 та F2)

Знаючи, що фокуси F1 та F2 знаходяться на осі у (ОУ), можемо записати координати фокусів як (0, c) та (0, -c), де c - відстань від центра до фокусу.

З формули |F1F2| = 2a, де а - піввелика вісь, маємо 2a = 6, тобто a = 3.

Також, відомо, що 2b = 10, тобто b = 5.

Тепер можемо записати канонічне рівняння еліпса: (x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1,

де (h, k) - координати центра еліпса.

Знаючи, що фокуси знаходяться на осі у (ОУ), можемо записати центр координат як (h, k) = (0, 0).

Тоді канонічне рівняння еліпса буде: x^2/3^2 + y^2/5^2 = 1, x^2/9 + y^2/25 = 1.

Тепер можна побудувати еліпс. Для цього знаходимо координати вершин еліпса - (±a, 0) та (0, ±b). В нашому випадку, це (±3, 0) та (0, ±5).

Знаючи центр та вершини еліпса, проводимо вісі еліпса, які проходять через центр та вершини. Під'єднуємо вершини еліпса дугами для отримання кінцевої фігури.

Отже, побудований еліпс буде проходити через фокуси F1 та F2, його центр буде в точці (0, 0), піввелика вісь буде рівна 3, а півмала вісь - 5.