Question

Доведи,що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу 4(3n-4,5)-9(2/3n-2) є кратним числу 3

Answer 1

Ответ:

Можна переписати вираз у наступний спосіб:
4(3n - 4.5) - 9(2/3n - 2) = 12n - 18 - 6n + 18 = 6n
Отримали, що вираз дорівнює 6n. Оскільки кожне натуральне число n можна записати у вигляді n = 3k або n = 3k + 1 або n = 3k + 2, де k - це ціле число, то підставимо ці значення n у вираз:
для n = 3k: 6n = 6(3k) = 18k, що ділиться на 3;

для n = 3k + 1: 6n = 6(3k + 1) = 18k + 6, що ділиться на 3;
для n = 3k + 2: 6n = 6(3k + 2) = 18k + 12, що ділиться на 3.
Отже, в будь-якому випадку значення виразу є кратним числу 3.

Answer 2

Щоб довести, що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу 4(3n-4.5)-9(2/3n-2) є кратним числу 3, ми можемо виконати деякі обчислення та спростити вираз.

Почнемо з даного виразу: 4(3n-4.5)-9(2/3n-2)

Давайте спростимо його, розкривши дужки та виконавши операції множення:

= 12n - 18 - 18n + 18 - 18

Тепер згрупуймо подібні члени: = 12n - 18n - 18 - 18 + 18

Подібні члени 12n та -18n можна об'єднати: = (12n - 18n) - 18 + 18

= -6n - 18 + 18

= -6n

Отже, ми отримали спрощений вираз -6n.

Тепер доведемо, що цей вираз є кратним числу 3 для будь-якого натурального значення n.

Для того, щоб вираз був кратним числу 3, сума його цифр повинна бути кратною 3.

Давайте розглянемо кілька прикладів:

При n = 1: -6n = -6(1) = -6

Сума цифр -6 дорівнює -6, що ділиться на 3 без остачі.

При n = 2: -6n = -6(2) = -12

Сума цифр -12 дорівнює -1+2, що ділиться на 3 без остачі.

При n = 3: -6n = -6(3) = -18

Сума цифр -18 дорівнює -1+8, що ділиться на 3 без остачі.

Ми можемо продовжувати цей процес для будь-якого натурального числа n, і завжди отримуватимемо суму цифр, яка ділиться на 3 без остачі.

Отже, ми довели, що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу 4(3n-4.5)-9(2/3n-2) є кратним числу 3.