Question

Знайдіть точки максимуму функції f(x) = 2x³ - 15x² + 36x​

Answer 1

Відповідь:Для знатния токов максимально функционирующих необхидно спочатку знайти похидну цієї функції и розвязати рівняння похідної, щоб знати точки, въ яких похідна дорівню ждите. Эти точки будут как максимальными, так и минимальными функциями.

Другая, постоянная функция f(x) = 2x³ - 15x² + 36x:

f'(x) = 6x² - 30x + 36

Далі, розв'язуємо рівняння f'(x) = 0:

6x² - 30x + 36 = 0

Дилимо на 6:

х² - 5х + 6 = 0

Факторизуємо:

(х - 2) (х - 3) = 0

Отже, х = 2 или х = 3.

Покрокове пояснення:Тепер з'ясуємо, є ці максимальными точками или минимальными. Для этого досладимо знак похідної на интервалах между точками.

Явление f'(x) > 0 в интервале между двумя точками, функция f(x) роста в этом интервале и максимальный минимум в этой точке. Частота f'(x) < 0 в интервале между двумя двоякими точками, то функция f(x) снижается в этом интервале, и это максимальное значение в этой точке.

Опрос f'(x) = 6x² - 30x + 36 = 6(x-2)(x-3), то есть ми бачимо, що f'(x) < 0 в интервале (2,3), включая f(x) максимальное количество баллов x = 2.

Отже, єдиний точкою максимально функції f(x) = 2x³ - 15x² + 36x, це x = 2.

Answer 2

Щоб знайти точки максимуму функції \( f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x \), потрібно взяти похідну цієї функції за змінною \( x \) і прирівняти її до нуля. Також треба здійснити аналіз другої похідної, щоб визначити, чи точка, де перша похідна дорівнює нулю, є точкою максимуму.

Давайте обчислимо похідну \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 15x^2 + 36x) \]

Для цього скористаємося правилом ступенів та суми:

\[ f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 \]

Тепер прирівняємо \( f'(x) \) до нуля та розв'яжемо рівняння:

\[ 6x^2 - 30x + 36 = 0 \]

Давайте спростимо це рівняння ділянням на 6:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Факторизуємо:

\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]

Отже, ми отримали дві можливі точки, де \( f'(x) = 0 \): \( x = 2 \) та \( x = 3 \).

Тепер перевіримо, чи ці точки є точками максимуму або мінімуму, взявши другу похідну \( f''(x) \):

\[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(2x^3 - 15x^2 + 36x) \]

Обчислимо другу похідну:

\[ f''(x) = 12x - 30 \]

Тепер підставимо значення \( x \) з точок, де \( f'(x) = 0 \):

Для \( x = 2 \): \( f''(2) = 12(2) - 30 = -6 \) Для \( x = 3 \): \( f''(3) = 12(3) - 30 = 6 \)

Якщо \( f''(x) < 0 \), то це точка максимуму, і якщо \( f''(x) > 0 \), то це точка мінімуму.

Отже, ми отримали, що точка \( x = 2 \) є точкою максимуму, а точка \( x = 3 \) є точкою мінімуму для функції \( f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x \).