Question

Y=15x²-2x³-36x ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА !!!! Вот выше функция и надо сделать следующее:1. ищем область определения 2. исследуем на четность/нечетность 3. исследуем на ограниченность 4. ищем точки пересечения с осями координат 5. ищем вертикальные асимптоты и точки разрыва 6. исследуем на экстремум 7. исследуем на перегиб 8. ищем дополнительные точки 9. строим график функции

Answer 1

Все требования даны в приложении.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из пунктов по порядку:

1. Область определения (D): Область определения - это множество значений переменной x, при которых функция определена. Для данной функции, состоящей из полиномиальных членов, область определения является множеством всех действительных чисел. Таким образом, \( D: x \in \mathbb{R} \).

2. Четность/нечетность: Для определения четности функции, проверим, выполняется ли равенство \( f(x) = f(-x) \). Подставим \(-x\) вместо \(x\) в функцию: \( f(-x) = 15(-x)^2 - 2(-x)^3 - 36(-x) \). После упрощения, видим, что \( f(x) \neq f(-x) \). Следовательно, функция нечетная.

3. Ограниченность: Для определения ограниченности функции нужно исследовать ее рост при \( x \to \pm\infty \). Поскольку у функции присутствуют члены с максимальным степенями 2 и 3, она неограниченна и растет в бесконечность при \( x \to \pm\infty \).

4. Точки пересечения с осями координат: Для нахождения точек пересечения с осями координат \( (x, y) \), подставим \( y = 0 \) и решим уравнение: \[ 15x^2 - 2x^3 - 36x = 0 \] Вынесем общий множитель \( 3x \): \( 3x(5x - 2x^2 - 12) = 0 \) Получаем два решения: \( x = 0 \) и \( x = 5 \).

5. Вертикальные асимптоты и точки разрыва: Для нахождения вертикальных асимптот и точек разрыва исследуем поведение функции в точках, где знаменатель равен нулю и в точках, где функция не определена. В данной функции знаменатель не содержит переменной \( x \), поэтому вертикальных асимптот и точек разрыва нет.

6. Экстремумы: Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную и приравняем ее к нулю: \[ f'(x) = 30x - 6x^2 - 36 \] Приравниваем к нулю: \( 30x - 6x^2 - 36 = 0 \) Решив это уравнение, найдем две точки экстремума: \( x = -3 \) и \( x = 2 \).

7. Перегиб: Для нахождения точек перегиба исследуем вторую производную функции. Если \( f''(x) = 0 \), то есть точка перегиба. \[ f''(x) = 30 - 12x \] Приравняем к нулю: \( 30 - 12x = 0 \), отсюда \( x = 2.5 \).

8. Дополнительные точки: Ранее мы нашли точки пересечения с осями координат (\(0, 0\) и \(5, 0\)) и точки экстремума (\(-3, f(-3))\) и (\(2, f(2))\).

9. График функции: На основе вышеописанных результатов можно построить график функции. Учитывая, что функция нечетная и имеет точки пересечения с осями координат и точки экстремума, а также точку перегиба, мы можем нарисовать примерный вид графика.

Пожалуйста, обратите внимание, что точные координаты и форма графика могут зависеть от конкретных значений коэффициентов в вашем уравнении. Если у вас есть конкретные числовые значения, я могу предоставить более детальный график.