Question

Найти уравнения касательных к эллипсу x^2+ 2y^2= 3, параллельных прямой x – 2y + 1 = 0.

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Уравнение эллипса дано как \(x^2 + 2y^2 = 3\). Чтобы найти уравнения касательных к этому эллипсу, параллельных прямой \(x - 2y + 1 = 0\), нам понадобятся следующие шаги:

Шаг 1: Найти уравнение касательной к эллипсу

Общее уравнение касательной к эллипсу в точке \((x_0, y_0)\) дано как:

\[xx_0 + 2yy_0 = 3\]

Шаг 2: Найти точки касания касательных, параллельных данной прямой

Уравнение прямой \(x - 2y + 1 = 0\) можно переписать в виде \(x = 2y - 1\), что говорит о том, что её наклон \(m = 2\).

Таким образом, касательные, параллельные этой прямой, будут иметь тот же наклон \(m = 2\).

Шаг 3: Найти уравнения касательных

Теперь нам нужно найти точки касания, где уравнения касательных будут иметь наклон \(m = 2\).

Для эллипса \(x^2 + 2y^2 = 3\), возьмем производную и найдем уравнение касательной в точке \((x_0, y_0)\):

\[2x + 4y \frac{{dy}}{{dx}} = 0\] \[\frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{{2x}}{{4y}} = -\frac{{x}}{{2y}}\]

Это выражение для углового коэффициента (производной) касательной к эллипсу. Теперь, для наклона касательной равного 2, мы можем найти точки касания:

\[-\frac{{x_0}}{{2y_0}} = 2\] \[x_0 = -4y_0\]

Подставим \(x_0 = -4y_0\) в уравнение эллипса \(x^2 + 2y^2 = 3\):

\((-4y_0)^2 + 2y_0^2 = 3\) \[16y_0^2 + 2y_0^2 = 3\] \[18y_0^2 = 3\] \[y_0^2 = \frac{3}{18}\] \[y_0^2 = \frac{1}{6}\] \[y_0 = \pm \frac{\sqrt{6}}{6}\]

Используем \(x_0 = -4y_0\) для соответствующих значений \(y_0\):

\[x_0 = -4 \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} = -\frac{4\sqrt{6}}{6} = -\frac{2\sqrt{6}}{3}\] \[x_0 = -4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right) = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\]

Теперь у нас есть две точки касания: \(\left(-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right)\) и \(\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}, -\frac{\sqrt{6}}{6}\right)\).

Шаг 4: Найти уравнения касательных в найденных точках

Теперь, когда у нас есть точки касания, мы можем найти уравнения касательных, используя найденные значения.

Уравнение касательной в точке \(\left(-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right)\):

Подставим значения \((-2\sqrt{6}/3, \sqrt{6}/6)\) в общее уравнение касательной: \(xx_0 + 2yy_0 = 3\).

\[x \cdot \left(-\frac{2\sqrt{6}}{3}\right) + 2y \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} = 3\] \[-2\sqrt{6}x + \sqrt{6}y = 18\] \[2\sqrt{6}x - \sqrt{6}y = -18\] \[y = 2x + 3\sqrt{6}\]

Аналогично, уравнение касательной в точке \(\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}, -\frac{\sqrt{6}}{6}\right)\):

\[y = -2x - 3\sqrt{6}\]

Итак, уравнения касательных к эллипсу \(x^2 + 2y^2 = 3\), параллельные прямой \(x - 2y + 1 = 0\) в соответствии с нашими расчетами будут:

\[y = 2x + 3\sqrt{6}\] \[y = -2x - 3\sqrt{6}\]