Question

У прямокутного .AKM < M=90°, AD -бісектриса трикутника ‹MAK =60°, знайдіть довжину катета MK якщо MD =4см тільки українською

Answer 1

Ответ:

Оскільки трікутник ‹MAK прямокутний, то з теореми Піфагора маємо:

AK² = AM² + MK²

Також, з умови задачі відомо, що точка D є точкою перетину бісектриси AD зі стороною MK, тому знаходимо співвідношення між довжинами відрізків:

MD/MK = AD/AK

Підставляємо в це співвідношення відомі значення:

4/MK = AD/AK

Також з умови задачі відомо, що кут ‹MAK = 60°, тому кут ‹MAD = 30° (бісектриса розділяє кут на дві рівні частини). Тоді з трикутника ‹MAD маємо:

AD/AK = sin(30°) = 1/2

Підставляємо це значення в попереднє співвідношення:

4/MK = 1/2AK

AK = 2AD

Тоді:

4/MK = 1/(2AK) = 1/2(2AD) = 1/2(2MD/cos(60°)) = MD/cos(60°) = 2MD

MK = 4/2MD = 2MD

Отже, довжина катета MK дорівнює 8 см.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо теорему синусів у трикутнику MAK:

sin(MAK) / MK = sin(MKA) / AK

За умовою задачі,

sin(60°) / MK = sin(MKA) / AK

sin(60°) = √3/2, тому:

√3/2 / MK = sin(MKA) / AK

Також за умовою задачі, AD є бісектрисою трикутника MAK, тому:

AK / KD = AM / DM

AM = DM + MK, тому:

AK / KD = (DM + MK) / DM

AK = (DM + MK) * KD / DM

Так як MD = 4 см, то:

AK = (4 + MK) * KD / 4

Також ми знаємо, що

sin(MKA) = cos(AKM) = cos(90° - MAK) = cos(30°) = √3/2

Підставимо це значення в попереднє рівняння:

√3/2 / MK = √3/2 / ((4 + MK) * KD / 4)

Скоротимо √3/2 з обох боків:

1 / MK = 1 / ((4 + MK) * KD / 4)

Перевернемо обидві частини рівняння:

MK = (4 + MK) * KD / 4

Розкриємо дужки:

MK = (4KD + MK * KD) / 4

Перенесемо MK наліво:

MK - MK * KD / 4 = 4KD / 4

Скоротимо 4 з обох боків:

MK - MK * KD = KD

Виділимо MK:

MK * (1 - KD) = KD

Поділимо обидві частини рівняння на (1 - KD):

MK = KD / (1 - KD)

Таким чином, довжина катета MK дорівнює KD / (1 - KD).