Question

На прямой отмечено несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками добавили по точке. Такую операцию повторили 3 раза, и в результате на прямой оказалось 65 точек. Сколько точек было вначале?

Answer 1

Поскольку точки добавляли между уже существующих точек, значит их было на одну больше, чем добавили. То есть, если каждый раз добавляли по х точек, то изначально было х+1. 

Составим и решим уравнение:
(x+1)+x+x+x=65
x+x+x+x+1=65
4x=64
x=16

Ответ: 16

Answer 2

Предположим, что в начале на прямой было n точек. После первой операции между каждыми двумя соседними точками добавили по одной точке, то есть каждый участок между точками разделили на две части. Таким образом, количество точек увеличилось вдвое и стало 2n-1.

После второй операции между каждыми двумя соседними точками снова добавили по одной точке, то есть каждый участок между точками разделили на две части. Теперь количество точек увеличилось вдвое и стало 4n-3.

После третьей операции количество точек увеличилось вдвое и стало 8n-7.

Из условия задачи нам известно, что в результате на прямой оказалось 65 точек. Таким образом, уравнение 8n-7=65 позволяет нам найти значение n:

8n-7=65 8n=65+7 8n=72 n=72/8 n=9

Итак, в начале на прямой было 9 точек.