Question

В какой точке касательная к параболе y = x^2 образует с прямой 3x − y + 1 = 0 угол 45◦? Напишите подробное решение, пожалуйста

Answer 1

Ответ:Для того, чтобы касательная образовывала угол 45 градусов с данной прямой, нужно, чтобы угловой коэффициент касательной равнялся -1 (так как угол между касательной и прямой равен углу между прямой и её перпендикуляром, а угол между перпендикуляром и прямой, заданной уравнением 3x - y + 1 = 0, равен 45 градусов).

Известно, что уравнение параболы y = x^2 имеет производную y' = 2x, которая даёт наклон (угловой коэффициент) касательной в точке x0:

y' = 2x = -1 => x0 = -1/2

Точка касания касательной с параболой имеет координаты (x0, y0), где

y0 = x0^2 = 1/4

Таким образом, касательная к параболе y = x^2, образующая угол 45 градусов с прямой 3x - y + 1 = 0, проходит через точку (-1/2, 1/4) и имеет угловой коэффициент -1. Уравнение этой касательной можно найти, зная координаты точки и её угловой коэффициент:

y - y0 = k(x - x0)

y - 1/4 = -1(x + 1/2)

y = -x + 3/4

Таким образом, уравнение искомой касательной равно y = -x + 3/4.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится найти точку пересечения параболы и прямой, а затем найти угол между касательной и прямой в этой точке.

Нахождение точки пересечения параболы и прямой

Для начала найдем точку пересечения параболы и прямой, подставив уравнение прямой в уравнение параболы и решив полученное уравнение относительно x.

Уравнение параболы: y = x^2 Уравнение прямой: 3x - y + 1 = 0

Подставим уравнение прямой в уравнение параболы: x^2 = 3x - 1

Решим это уравнение: x^2 - 3x + 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -3 и c = 1.

Вычислим дискриминант: D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня: x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)

Подставим значения a, b и D в формулу и найдем значения x1 и x2: x1 = (-(-3) + sqrt(5)) / (2 * 1) = (3 + sqrt(5)) / 2 x2 = (-(-3) - sqrt(5)) / (2 * 1) = (3 - sqrt(5)) / 2

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные значения x в уравнение параболы: y1 = (3 + sqrt(5))^2 = 14 + 6sqrt(5) y2 = (3 - sqrt(5))^2 = 14 - 6sqrt(5)

Таким образом, точки пересечения параболы и прямой равны: (x1, y1) = ((3 + sqrt(5)) / 2, 14 + 6sqrt(5)) (x2, y2) = ((3 - sqrt(5)) / 2, 14 - 6sqrt(5))

Нахождение угла между касательной и прямой

Теперь, когда у нас есть точки перес