Question

Найдите точку минимума и максимума У=1,5х^2-30х+48ln x+4

Answer 1

 находим производную, корни 2 и 8

Answer 2

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Находим производную и решаем уравнение f'(x)=0
f'(x)=(1,5x²-30x+48lnx+4)'=3x-30+(48/x)=0
3x²-30x+48=0 |:3
x²-10x+16=0
D=(-10)²-4*16=100-64=36
x=(10-6)/2=2       x=(10+6)/2=8
Нашли критические точки.
Отложим на числовой прямой найденные критические точки и определим знак производной на интервалах
             +                         -                          +
--------------------(2)---------------------(8)------------------
При переходе через точку х=2 производная меняет знак с "+" на "-" следовательно в этой точке функция достигает максимума, а при переходе через точку х=8 с "-" на "+" значит в этой точке функция достигает минимума. 

Answer 3

Для нахождения точек минимума и максимума функции Y=1,5x^2-30x+48ln(x)+4, найдем производную этой функции по x и приравняем ее к нулю:

Y' = 3x - 30 + 48/x = 0

Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:

3x^2 - 30x + 48 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-30)^2 - 4*3*48 = 900 - 576 = 324

x1,2 = (-(-30) ± √324) / (2*3) = (30 ± 18) / 6 x1 = 48 / 6 = 8 x2 = 12 / 6 = 2

Теперь найдем вторую производную функции Y:

Y'' = 6 - 48/x^2

Теперь подставим найденные значения x во вторую производную:

Y''(2) = 6 - 48/2^2 = 6 - 12 = -6 < 0 (точка максимума) Y''(8) = 6 - 48/8^2 = 6 - 6 = 0 (точка минимума)

Итак, точка минимума функции Y=1,5x^2-30x+48ln(x)+4 находится в точке (8, Y(8)) и точка максимума в точке (2, Y(2)).