Question

Решить уравнение (xy'-y)ln(y/x)=x

Answer 1

Ответ:y ln(y/x) = x ln(ln(y/x)) + C

Пошаговое объяснение:

Перепишем его в более удобном виде:

y' - (y/x) = x/(xln(y/x))

Для решения данного уравнения воспользуемся методом интегрирующего множителя. Пусть множитель равен u(y/x), тогда:

u'(y/x) = x/(xln(y/x))

u = ln(ln(y/x))

Умножим обе части уравнения на u:

y ln(y/x) = x ln(ln(y/x)) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, решение данного уравнения имеет вид:

y ln(y/x) = x ln(ln(y/x)) + C

где C - произвольная постоянная.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать метод вариации постоянной. Давайте рассмотрим каждый шаг более подробно.

Шаг 1: Подготовка уравнения

Данное уравнение является нелинейным уравнением первого порядка. Для начала, давайте перепишем его в более удобной форме: (xy' - y)ln(y/x) = x

Шаг 2: Замена переменных

Для упрощения уравнения, давайте введем новую переменную z = y/x. Теперь мы можем переписать уравнение в терминах z: (xy' - y)ln(z) = x

Шаг 3: Вычисление производных

Давайте вычислим производные, используя новую переменную z. Производная y' может быть выражена через производную z': y' = xz' + z

Теперь мы можем заменить y' в исходном уравнении: (x(xz' + z) - y)ln(z) = x

Шаг 4: Упрощение уравнения

Раскроем скобки в левой части уравнения и преобразуем его: x^2 z' ln(z) + xz ln(z) - y ln(z) = x

Шаг 5: Разделение переменных

Теперь давайте разделим переменные, переместив все члены с z' на одну сторону уравнения, а все остальные члены на другую сторону: x^2 z' ln(z) = -xz ln(z) + y ln(z) - x

Шаг 6: Интегрирование

Теперь, проинтегрируем обе стороны уравнения относительно переменной z. Интегрируя левую сторону, мы получим: ∫ x^2 ln(z) dz = -∫xz ln(z) dz + ∫y ln(z) dz - ∫x dz

Интегрируя каждое слагаемое по отдельности, получим: (x^2/2) ln(z)^2 = -1/2 x^2 z ln(z) + y z ln(z) - xz + C

где C - постоянная интегрирования.

Шаг 7: Возвращение к исходным переменным

Теперь, давайте вернемся к исходным переменным x и y. Зная, что z = y/x, мы можем заменить z в полученном уравнении: (x^2/2) ln(y/x)^2 = -1/2 x^2 (y/x) ln(y/x) + y (y/x) ln(y/x) - xy + C

Шаг 8: Упрощение и финальное уравнение

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение: (x^2/2) ln(y/x)^2 = -1/2 xy ln(y/x) + y ln(y/x) - xy + C

Это финальное уравнение, которое можно использовать для дальнейшего анализа или при необходимости численного решения.

Пример кода:

``` import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y') z = y / x

equation = (x2 / 2) * sp.ln(z)2 + (1 / 2) * x * y * sp.ln(z) - y * sp.ln(z) + x * y - x + C

# Где C - постоянная интегрирования ```

Это основной процесс решения уравнения (xy' - y)ln(y/x) = x+ с использованием метода вариации постоянной. Решение может быть более сложным в зависимости от конкретного уравнения, но этот подход является общим и может быть применен для уравнений этого типа.