Question

Найти решение задачи Коши (xy^2+x)dx+(y-x^2y)dy=0 y(2)=0

Answer 1

Ответ:

Дано дифференциальное уравнение первого порядка:

(xy^2 + x)dx + (y - x^2y)dy = 0

Мы можем решить его, используя метод интегрирующего множителя. Для этого нужно найти функцию μ(x,y), которая удовлетворяет уравнению:

∂(μ(xy^2 + x))/∂y = ∂(μ(y - x^2y))/∂x

То есть:

y^2μ(x) = -x^2μ'(y)

Заметим, что левая часть зависит только от y, а правая - только от x. Значит, обе части должны быть равны константе. Пусть эта константа равна -k^2, где k - произвольное число. Тогда:

y^2μ(x) = k^2

-x^2μ'(y) = -k^2

Решим второе уравнение относительно μ(y):

μ(y) = k^2/(x^2)

Теперь найдем производную μ(x):

μ'(x) = -2ky^2/x^3

Подставим μ(x) и μ'(x) в уравнение с исходной функцией и умножим его на μ(x):

k^2(dx/x^2) - 2ky^2(dy/y^2) = 0

Проинтегрируем это уравнение:

k^2ln|x| + 2k/y = C

где C - произвольная постоянная интегрирования. Разрешим ее относительно k:

k = (C - 2y/ln|x|)/ln|x|

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

ln|x|^2/y + 2/ln|x| = C

где C - произвольная постоянная. Используя начальное условие y(2) = 0, получим:

ln|2|^2/0 + 2/ln|2| = C

C = -4ln(2)

Таким образом, частное решение уравнения имеет вид:

ln|x|^2/y + 2/ln|x| = -4ln(2)

Чтобы найти явную формулу для y(x), можно переписать это уравнение следующим образом:

y = x^2/(e^(2/ln|x|+4ln(2)))

или, эквивалентно,

y = x^2/(4x^2 + 1)

Таким образом, решение исходного дифференциального уравнения с начальным условием y(2) = 0 имеет вид:

y(x) = x^2/(4x^2 + 1)

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

вроде так

Answer 3

Задача Коши состоит в нахождении решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. В данном случае, дифференциальное уравнение имеет вид:

(xy^2+x)dx+(y-x^2y)dy=0

а начальное условие:

y(2)=0

Для решения этой задачи можно использовать следующие шаги:

1. Привести дифференциальное уравнение к виду, разрешенному относительно производной:

y' = (x^2y-y)/(xy^2+x)

2. Проверить, является ли уравнение с разделяющимися переменными или однородным. В данном случае, уравнение не является ни тем, ни другим, поэтому нужно искать интегрирующий множитель.

3. Найти интегрирующий множитель, который превратит уравнение в полный дифференциал. Для этого можно попробовать функции вида:

M(x,y) = f(x), M(x,y) = f(y), M(x,y) = f(xy), M(x,y) = f(x/y)

и проверить, выполняется ли условие:

M(x,y)(xy^2+x)dx+M(x,y)(y-x^2y)dy = dF(x,y)

где F(x,y) - некоторая функция от x и y. В данном случае, можно проверить, что интегрирующим множителем является функция:

M(x,y) = 1/(xy^2+x)

4. Умножить исходное уравнение на интегрирующий множитель и получить полный дифференциал:

d(xy+ln(xy^2+x)) = 0

5. Проинтегрировать обе части уравнения и получить общее решение:

xy+ln(xy^2+x) = C

где C - произвольная постоянная.

6. Подставить начальное условие в общее решение и найти конкретное значение постоянной C:

2*0+ln(2*0^2+2) = C

C = ln(2)

7. Записать частное решение задачи Коши:

xy+ln(xy^2+x) = ln(2)

Это решение можно проверить с помощью онлайн калькулятора или Wolfram Alpha. Также можно посмотреть другие примеры решения задачи Коши. Надеюсь, это ответ был полезен для вас.