Question

Решить дифференциальное уравнение 1=xy''-y'

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$1=xy''-y'$

Поскольку $x=0$ не является частным решением уравнения, выполним деление на $x^2:$

$\dfrac{xy''-y'}{x^2}=\dfrac{1}{x^2},\;\Rightarrow\;\left(\dfrac{y'}{x}\right)'=\dfrac{1}{x^2}$

Выполним теперь интегрирование:

$\dfrac{y'}{x}\right=\int\dfrac{dx}{x^2}=-\dfrac{1}{x}+C_1$

Следовательно задача свелась к следующей:

$y'=-1+C_1x,\;\Rightarrow\;y=\int-1+C_1x\,dx=-x+\dfrac{C_1x^2}{2}+C_2$

Значит окончательный ответ имеет вид:

$y=C_3x^2-x+C_2$

Уравнение решено!

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения $1 = xy'' - y'$, мы можем использовать метод вариации постоянных. Этот метод позволяет нам найти частное решение данного уравнения.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения

Для начала, рассмотрим однородное уравнение $xy'' - y' = 0$. Чтобы найти его общее решение, предположим, что $y$ имеет вид $y = x^m$, где $m$ - постоянная. Тогда, найдем производные $y'$ и $y''$: $$y' = mx^{m-1}$$ $$y'' = m(m-1)x^{m-2}$$ Подставим эти значения в однородное уравнение: $$x(m(m-1)x^{m-2})