Question

80% холодильників фірми „NORD” і 90% фірми „INDESIT” справно працюють протягом гарантійного терміну. Для ресторану придбали 2 холодильники фірми „NORD” і один – фірми „INDESIT”. Знайти ймовірність того, що: а) всі три холодильники будуть справно працювати протягом гарантійного терміну; б) два з трьох холодильників будуть справно працювати протягом гарантійного терміну; в) принаймні один холодильник зіпсується протягом гарантійного терміну.

Answer 1

Відповідь:

Зауважимо, що дана задача відноситься до теорії ймовірності, а саме до розрахунку ймовірностей подій в залежності від інших подій.

a) Щоб всі три холодильники працювали протягом гарантійного терміну, потрібно, щоб обидва холодильники фірми "NORD" і холодильник фірми "INDESIT" були справними. Ймовірність того, що перший холодильник фірми "NORD" буде справним, дорівнює 0,8, а ймовірність того, що другий холодильник фірми "NORD" буде справним, також дорівнює 0,8. Ймовірність того, що холодильник фірми "INDESIT" буде справним, дорівнює 0,9. Оскільки всі ці події є незалежними, ми можемо застосувати формулу добутку ймовірностей:

P(всі три холодильники справні) = 0,8 * 0,8 * 0,9 = 0,576.

Отже, ймовірність того, що всі три холодильники будуть справно працювати протягом гарантійного терміну, становить 0,576 або приблизно 57,6%.

b) Щоб два з трьох холодильників були справні, може статися три варіанти: (1) обидва холодильники фірми "NORD" працюють, а холодильник фірми "INDESIT" зламався; (2) один з холодильників фірми "NORD" зламався, а інший та холодильник фірми "INDESIT" працюють; (3) обидва холодильники фірми "NORD" зламалися, а холодильник фірми "INDESIT" працює. Знайдемо ймовірності кожного з цих випадків та додамо їх, щоб отримати загальну ймовірність:

Для варіанту 2, щоб два з трьох холодильників були справні, можуть статися три випадки:

Обидва холодильники фірми "NORD" працюють, а холодильник фірми "INDESIT" зламався: ймовірність цього становить 0.8 * 0.8 * (1 - 0.9) = 0.128.

Один з холодильників фірми "NORD" зламався, а інший та холодильник фірми "INDESIT" працюють: є три способи вибрати один з двох холодильників фірми "NORD" для зламу, тому ймовірність цього становить 0.8 * (1 - 0.8) * 0.9 * 2 = 0.288.

Обидва холодильники фірми "NORD" зламалися, а холодильник фірми "INDESIT" працює: ймовірність цього становить (1 - 0.8) * (1 - 0.8) * 0.9 = 0.018.

Отже, загальна ймовірність того, що два з трьох холодильників будуть справні протягом гарантійного терміну, дорівнює 0.128 + 0.288 + 0.018 = 0.434.

в)

Щоб знайти ймовірність того, що принаймні один холодильник зіпсується, можна віднімати ймовірність того, що всі три працюватимуть протягом гарантійного терміну від загальної ймовірності. Тобто:

Р(принаймні один зіпсується)=1−Р(всі три працюють)=1−0.72=0.28

Отже, ймовірність того, що принаймні один холодильник зіпсується протягом гарантійного терміну, дорівнює 0.28 або 28%.

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для вирішення цього завдання використаємо ймовірність.

Нехай подія \(А\) - це те, що конкретний холодильник буде працювати протягом гарантійного терміну, а подія \(А'\) - це те, що холодильник зіпсується протягом гарантійного терміну. Також припустимо, що ймовірність того, що холодильник працює коректно, становить \(p\), тобто \(P(A) = p\), а ймовірність того, що холодильник зіпсується, становить \(1 - p\), тобто \(P(A') = 1 - p\).

a) Ймовірність того, що всі три холодильники будуть працювати протягом гарантійного терміну:

\[P(\text{всі три працюють}) = P(A \cap A \cap A) = P(A)^3 = p^3.\]

б) Ймовірність того, що два з трьох холодильників будуть працювати протягом гарантійного терміну:

\[P(\text{два з трьох працюють}) = P(A \cap A \cap A') + P(A \cap A' \cap A) + P(A' \cap A \cap A) = 3 \cdot p^2 \cdot (1 - p).\]

в) Ймовірність того, що принаймні один холодильник зіпсується протягом гарантійного терміну:

\[P(\text{принаймні один зіпсується}) = 1 - P(\text{всі три працюють}) = 1 - p^3.\]

Отже, відповіді на задані питання:

а) \(P(\text{всі три працюють}) = p^3\).

б) \(P(\text{два з трьох працюють}) = 3 \cdot p^2 \cdot (1 - p)\).

в) \(P(\text{принаймні один зіпсується}) = 1 - p^3\).

Таким чином, залежно від значення ймовірності \(p\) можна визначити відповіді на всі три запитання.