Question

Теорія ймовірності 1. В одному ящику 5 білих і 11 червоних куль, в другому- 6 білих і 5 червоних куль. З кожного ящику взяли по кулі. Знайти ймовірність того, що серед взятих куль є хоча б одна біла. 2. Є три набори деталей. Ймовірність того, що деталь з першого набору стандартна дорівнює 0,8, з другого- 0,9, з третього- 0,7. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь з навмання взятого набору є стандартною. 3. Знайдіть ймовірність того, що при трьох киданнях монети герб випав 2 рази.

Answer 1

1. P = P₁ + P₂ + P₃,

P₁ - среди выборки один белый шар, взятый из первого ящика.

P₂ - среди выборки один белый шар, взятый из второго ящика.

P₃ - среди выборки два белых шара.

P₁ = m₁/n;

P₂ = m₂/n;

P₃ = m₃/n;

$P = \frac{m_1 + m_2 + m_3}{n}$

n = (5+11)·(6+5) = 16·11

m₁ = 5·5 = 25;

m₂ = 11·6 = 66;

m₃ = 5·6 = 30;

$P = \frac{25 + 66 + 30}{16\cdot 11} = \frac{25+96}{16\cdot 11} =$

$= \frac{121}{16\cdot 11} = \frac{11}{16}$

2. По формуле полной вероятности:

$P = \frac{1}{3}\cdot 0{,}8 + \frac{1}{3}\cdot 0{,}9 + \frac{1}{3}\cdot 0{,}7 =$

$= \frac{0{,}8 + 0{,}9 + 0{,}7}{3} = \frac{2{,}4}{3} = 0,8$

3. P = m/n

n = 2³ = 8,

Найдем m. Герб может выпасть два раза лишь тремя способами:

(Г, Г, О); (Г, О, Г); (О, Г, Г). m = 3

$P = \frac{3}{8}$

Answer 2

1. Для знаходження ймовірності того, що серед взятих куль хоча б одна біла, можна використовувати протилежну подію - тобто ймовірність того, що всі взяті кулі будуть червоними, і віднімемо це значення від 1.

З першого ящика вибираємо червону кулю з ймовірністю 11/16 (оскільки всього 16 куль у ящику). З другого ящика також вибираємо червону кулю з ймовірністю 5/11 (оскільки всього 11 куль у ящику).

Таким чином, ймовірність того, що всі взяті кулі будуть червоними, дорівнює (11/16) * (5/11) = 55/176.

А тепер знайдемо ймовірність протилежної події (тобто того, що хоча б одна куля буде білою):

1 - (55/176) = 121/176.

Отже, ймовірність того, що серед взятих куль є хоча б одна біла, дорівнює 121/176.

2. Щоб знайти загальну ймовірність того, що взята деталь буде стандартною, ми можемо використовувати закон загальної ймовірності (теорему ймовірностей). Зазвичай цей закон формулюється так:

P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + P(A|B3) * P(B3),

де P(A) - загальна ймовірність події A, P(B1), P(B2), P(B3) - ймовірності подій B1, B2 і B3 (вибір деталі з першого, другого і третього наборів), P(A|B1), P(A|B2), P(A|B3) - умовні ймовірності події A при умові, що вибрана деталь з відповідного набору (стандартна деталь).

В даному випадку: P(B1) = 0.8 (ймовірність вибору з першого набору), P(B2) = 0.9 (ймовірність вибору з другого набору), P(B3) = 0.7 (ймовірність вибору з третього набору).

Також задано ймовірності P(A|B1), P(A|B2), P(A|B3):

P(A|B1) = 0.8 (ймовірність вибору стандартної деталі з першого набору), P(A|B2) = 0.9 (ймовірність вибору стандартної деталі з другого набору), P(A|B3) = 0.7 (ймовірність вибору стандартної деталі з третього набору).

Зараз можна підставити значення у формулу:

P(A) = (0.8 * 0.8) + (0.9 * 0.9) + (0.7 * 0.7) = 0.64 + 0.81 + 0.49 = 1.94.

Отже, ймовірність того, що навмання взята деталь з навмання взятого набору є стандартною, дорівнює 1.94 (або 97%).

3. Щоб знайти ймовірність того, що при трьох киданнях монети герб випаде 2 рази, можна використовувати біноміальний розподіл. Він описує ймовірність випадіння k успішних подій в n незалежних спробах, де ймовірність успіху в одній спробі дорівнює p.

У цьому випадку, n = 3 (три кидки монети), k = 2 (два рази випадає герб), і ймовірність успіху p (випадання герба в одному кидку монети) дорівнює 0.5 (половина ймовірності).

За формулою біноміального розподілу:

P(X = k) = C(n, k) * (p^k) * ((1-p)^(n-k)),

де C(n, k) - кількість способів вибрати k успішних подій з n спроб, обчислюється як "n choose k", тобто C(3, 2) = 3.

Тепер можна обчислити ймовірність:

P(X = 2) = C(3, 2) * (0.5^2) * ((1-0.5)^(3-2)) = 3 * 0.25 * 0.5 = 0.375.

Отже, ймовірність того, що при трьох киданнях монети герб випаде 2 рази, дорівнює 0.375 (або 37.5%).