Question

1+cos2x=(cos2x+sin2x)^2

Answer 1

$1+\cos2x=(\cos2x+\sin2x)^2$

В правой части выполним возведение в квадрат:

$1+\cos2x=\cos^22x+\sin^22x+2\cos 2x\sin2 x$

В этой же части воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$1+\cos2x=1+2\cos 2x\sin2 x$

$\cos2x=2\cos 2x\sin2 x$

$\cos2x-2\cos 2x\sin2 x=0$

$\cos2x(1-2\sin2 x)=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$\left[\begin{array}{l} \cos2x=0 \\ 1-2\sin2 x=0\end{array}\right.$

Решаем первое уравнение:

$\cos2x=0$

$2x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n$

$x=\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Решаем второе уравнение:

$1-2\sin2 x=0$

$2\sin2 x=1$

$\sin2 x=\dfrac{1}{2}$

$2 x=(-1)^k\dfrac{\pi }{6} +\pi k$

$x=(-1)^k\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi k}{2} .\ k\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2};\ (-1)^k\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi k}{2} .\ n,k\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте разберемся с каждой частью отдельно.

Выражение "1 + cos(2x)" может быть упрощено, используя формулу двойного угла для косинуса. Формула двойного угла для косинуса гласит:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Подставим это выражение в исходное уравнение:

1 + cos^2(x) - sin^2(x) = (cos^2(x) - sin^2(x) + sin^2(x))^2

Упрощая, получаем:

1 + cos^2(x) - sin^2(x) = cos^4(x)

Теперь давайте приведем уравнение к квадратному виду. Обозначим cos^2(x) как a и sin^2(x) как b:

1 + a - b = a^2

Перепишем это уравнение в квадратном виде:

a^2 - a + (1 + b) = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение с неизвестной a. Можем решить его с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac

В нашем случае, a = 1, b = -1, c = 1 + b = 2

Подставляем значения в формулу дискриминанта:

D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет решений в области вещественных чисел. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений.

Решение:

Уравнение 1 + cos(2x) = (cos(2x) + sin(2x))^2+ не имеет решений в области вещественных чисел.