Question

Знайти екстремум функції двох змінних: z=x²-xy+3y²+x+5y+1 По можливості повний розв'язок))

Answer 1

Ответ:

10.

Пошаговое объяснение:

посмотрите предложенный вариант; ответ можно агрегировать из отмеченного цветным.

Answer 2

Для знаходження екстремуму функції двох змінних необхідно знайти всі точки, в яких градієнт функції дорівнює нулю.

Запишемо спочатку функцію у вигляді: z = x² - xy + 3y² + x + 5y + 1

Щоб знайти градієнт функції, необхідно знайти часткові похідні за кожною змінною: ∂z/∂x = 2x - y + 1 ∂z/∂y = -x + 6y + 5

Після цього прирівнюємо обидві частини до нуля і розв'язуємо систему рівнянь: 2x - y + 1 = 0 -x + 6y + 5 = 0

Першим кроком можна вирішити перше рівняння відносно x: 2x = y - 1 x = (y - 1) / 2

Підставимо це значення x у друге рівняння: -(y - 1) / 2 + 6y + 5 = 0 -3(y - 1) + 12y + 10 = 0 -3y + 3 + 12y + 10 = 0 9y = -13 y = -13 / 9

Підставимо значення y у перше рівняння: 2x - (-13 / 9) + 1 = 0 2x + 13 / 9 + 1 = 0 2x = -13 / 9 - 9 / 9 2x = -22 / 9 x = -11 / 9

Таким чином, отримали точку екстремуму (x, y) = (-11/9, -13/9).

Щоб визначити, чи ця точка є максимумом чи мінімумом, можна використати другі часткові похідні. Знайдемо їх: ∂²z/∂x² = 2 ∂²z/∂y² = 6 ∂²z/∂x∂y = -1

Обчислимо дискримінант: D = (∂²z/∂x²)(∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² = (2)(6) - (-1)² = 12 - 1 = 11

Якщо D > 0 і (∂²z/∂x²) > 0, то точка є локальним мінімумом. Якщо D > 0 і (∂²z/∂x²) < 0, то точка є локальним максимумом. У інших випадках точка не є екстремумом.

У нашому випадку D > 0 і (∂²z/∂x²) > 0, тому точка (-11/9, -13/9) є локальним мінімумом функції z.