Question

1031. Доведи, що числа: 1) 55 i 42 взаємно прості; 2) 325 i 462 не взаємно прості.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)

НОД(55;42)

55=5•11

42=2•3•7

НОД(55;42)=1

имеют только один общий делитель -это 1. такие числа называют взаимно простые.

2)

НОД (325 ; 462)

325=5•5•13

462=2•3•7•11

НОД(325;462)=1

имеют только один общий делитель - это 1.

такие числа называют взаимно простые.

Answer 2

Щоб перевірити, чи два комплексні числа взаємно прості, давайте спростимо їхні дійсні та уявні частини, а потім скористаємося алгоритмом Евкліда для знаходження найбільшого спільного дільника (НСД).

1. Перше комплексне число: \(55 + i42\): - Дійсна частина: 55 - Уявна частина: 42

2. Друге комплексне число: \(325 + i462\): - Дійсна частина: 325 - Уявна частина: 462

Тепер обчислимо НСД для дійсних частин і уявних частин окремо, використовуючи алгоритм Евкліда.

Для дійсних частин: \[ \text{НСД}(55, 325) = \text{НСД}(325, 55) = \text{НСД}(55, 35) = \text{НСД}(35, 20) = \text{НСД}(20, 15) = \text{НСД}(15, 5) = 5 \]

Для уявних частин: \[ \text{НСД}(42, 462) = \text{НСД}(462, 42) = \text{НСД}(42, 12) = \text{НСД}(12, 6) = \text{НСД}(6, 0) = 6 \]

Отже, НСД для дійсних частин і уявних частин дорівнює 5 і 6 відповідно.

Тепер, якщо НСД дійсних і уявних частин дорівнює 1, то комплексні числа взаємно прості.

У нашому випадку, 5 і 6 не є взаємно простими, оскільки їхній НСД не дорівнює 1. Тому комплексне число \(55 + i42\) не є взаємно простим із комплексним числом \(325 + i462\).

Щодо другого пункту (325 + i462), так як ми вже визначили, що її дійсна і уявна частини не є взаємно простими з 55 і 42 відповідно, то можемо вважати, що числа \(325 + i462\) і \(55 + i42\) також не є взаємно простими.