Question

Sin7x- sin x =cos 4x решите уравнение

Answer 1

Формула
$sin \alpha -sin \beta =2sin \frac{ \alpha - \beta }{2}cos \frac{ \alpha + \beta }{2}$
Тогда слева получим
2sin3xcos4x=cos4x
Переносим из правой части в левую cos4x
и раскладываем на множители:
2sin3xcos4x-cos4x=0
сos4x(2sin3x-1)=0
cos4x=0                                          или                 2sin3x-1=0
$4x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k,k\in Z$           $sin3x= \frac{1}{2}$
$x= \frac{ \pi }{8}+ \frac{ \pi }{4} k,k\in Z$                                                                                                                                                               $3x=(-1) ^n\cdot arcsin\frac{1}{2}+ \pi n,n\in Z$
                                                                         $3x=(-1) ^{n}\frac{ \pi }{6}+ \pi n,n\in Z$
                                                                         $x=(-1) ^{n}\frac{ \pi }{18}+ \frac{ \pi }{3} n,n\in Z$

Answer 2

2sin3xcos4x-cos4x=0
cos4x(2sin3x-1)=0
4x=p/2+pn или 3x=(-1)^n*p/6+pn
x=p/8+pn/4      x=(-1)^n*p/18+pn/3

Answer 3

Для решения данного уравнения, нам понадобится использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Давайте посмотрим, как мы можем решить это уравнение поэтапно.

Шаг 1: Приведение тригонометрических выражений к одному виду Используя тригонометрическое тождество sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), мы можем переписать уравнение следующим образом: sin(7x) - sin(x) = cos(4x) Теперь у нас есть только синусы и косинусы на одной стороне уравнения.

Шаг 2: Использование тригонометрического тождества sin(a) - sin(b) = 2cos((a + b)/2)sin((a - b)/2) Применяя данное тождество к левой части уравнения, получим: 2cos(4x/2)sin((7x - x)/2) = cos(4x) Упрощая это выражение, получаем: 2cos(2x)sin(3x) = cos(4x)

Шаг 3: Разделение уравнения на два подуравнения Мы можем разделить это уравнение на два подуравнения, учитывая, что cos(2x) не равен нулю (иначе мы бы получили деление на ноль): 2cos(2x) = cos(4x) и sin(3x) = 0

Шаг 4: Решение первого подуравнения Решим первое подуравнение 2cos(2x) = cos(4x). Используем тождество cos(2a) = 2cos^2(a) - 1 для преобразования левой части уравнения: 2(2cos^2(x) - 1) = cos(4x) Упрощая это выражение, получаем: 4cos^2(x) - 2 = cos(4x)

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно cos(x). Пусть z = cos(x), тогда уравнение примет вид: 4z^2 - 2 = 2z^2 - 1 2z^2 = 1 z^2 = 1/2 z = ±√(1/2)

Таким образом, получаем два значения: cos(x) = √(1/2) и cos(x) = -√(1/2)

Учитывая, что cos(x) = √(1/2) соответствует углу π/4 и cos(x) = -√(1/2) соответствует углу 7π/4, мы можем записать два решения для первого подуравнения: x = π/4 + 2πn и x = 7π/4 + 2πn, где n - целое число.

Шаг 5: Решение второго подуравнения Теперь рассмотрим второе подуравнение sin(3x) = 0. Учитывая, что sin(0) = 0 и sin(π) = 0, мы получаем два возможных значения для 3x: 3x = 0 и 3x = π

Решая эти уравнения, получаем: x = 0 и x = π/3

Шаг 6: Объединение всех решений Итак, мы получили следующие значения x: x = π/4 + 2πn, где n - целое число x = 7π/4 + 2πn, где n - целое число x = 0 x = π/3

Это все решения уравнения sin(7x) - sin(x) = cos(4x).