Question

Завдання 6: Обчисліть значення похідної функції f(x) = x³ - 2x у точці х0-2. ​

Answer 1

Ответ:

. решение смотри на фотографии

Answer 2

Щоб знайти значення похідної функції \(f(x) = x^3 - 2x\) у точці \(x_0 = -2\), скористаємося визначенням похідної в точці.

Похідна функції \(f(x)\) визначається як границя виразу \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\), якщо ця границя існує, при \(h \to 0\).

Отже, ми будемо використовувати формулу:

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]

Спочатку знайдемо значення функції \(f(x)\) та \(f(x+h)\):

\[f(x) = x^3 - 2x\]

\[f(x+h) = (x+h)^3 - 2(x+h)\]

Тепер обчислимо різницю:

\[f(x+h) - f(x) = (x+h)^3 - 2(x+h) - (x^3 - 2x)\]

Спростимо цей вираз:

\[f(x+h) - f(x) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2x - 2h - x^3 + 2x\]

Вираз \(-x^3\) та \(x^3\) скасовуються, так само як і \(-2x\) та \(2x\):

\[f(x+h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2h\]

Тепер підставимо це у формулу похідної:

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2h}{h}\]

Спростимо вираз:

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} 3x^2 + 3xh + h^2 - 2\]

Тепер підставимо \(h = 0\), оскільки \(h\) збігається до нуля:

\[f'(-2) = 3(-2)^2 + 3(-2) + 0 - 2\]

\[f'(-2) = 12 - 6 - 2\]

\[f'(-2) = 4\]

Отже, значення похідної функції \(f(x) = x^3 - 2x\) в точці \(x_0 = -2\) дорівнює 4.