Question

В уравнении x2-ax+29 оба корня являются натуралимыми числами. Чему равно a?

Answer 1

$x^{2} -ax+29$

По теореме Виета : 

 $x_1\cdot x_2=29\; \; i\; \; x_1+x_2=a\; \; \Rightarrow \; \; x_1=1,\; x_2=29\; ,\; \; a=30.$

Answer 2

Для того чтобы оба корня уравнения x^2 - ax + 29 были натуральными числами, дискриминант этого уравнения должен быть квадратом натурального числа. Пусть корни уравнения обозначаются как x_1 и x_2. Тогда, по формуле дискриминанта, имеем:

D = a^2 - 4*29 = a^2 - 116.

Так как D должно быть квадратом натурального числа, то можем записать:

a^2 - 116 = k^2,

где k - натуральное число. Перепишем это уравнение в виде:

a^2 - k^2 = 116.

Теперь можно заметить, что это разность квадратов. Мы можем факторизовать левую часть этого уравнения следующим образом:

(a - k)(a + k) = 116.

Теперь нам нужно найти все пары натуральных чисел (a, k), такие что их произведение равно 116. Затем мы смотрим на все возможные значения a и проверяем, являются ли они решениями исходного уравнения.

Возможные пары (a, k) для произведения 116:

(1, 116), (2, 58), (4, 29), (29, 4), (58, 2), (116, 1).

Теперь проверим каждое из этих значений a в исходном уравнении:

Подставим a = 1:

x^2 - 1x + 29 = 0. Решений нет, так как дискриминант отрицательный.

Подставим a = 2:

x^2 - 2x + 29 = 0. Решений нет, так как дискриминант отрицательный.

Подставим a = 4:

x^2 - 4x + 29 = 0. Решений нет, так как дискриминант отрицательный.

Подставим a = 29:

x^2 - 29x + 29 = 0. В этом случае имеем один корень x = 1.

Подставим a = 58:

x^2 - 58x + 29 = 0. Решений нет, так как дискриминант отрицательный.

Подставим a = 116:

x^2 - 116x + 29 = 0. Решений нет, так как дискриминант отрицательный.

Таким образом, из всех возможных значений a только a = 29 является решением исходного уравнения, при котором оба корня являются натуральными числами.