Question

Задано три точки А, В, С. Знайти: 1) рівняння прямої ВС; 2) рівняння прямої, яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС; 3) кут ABC; 4) рівняння та довжину медіани в трикутнику АВС, яка проведена з ве- ршини А; 5) рівняння та довжину висоти в трикутнику АВС, яка проведена з ве- ршини А; 6) знайти точку А), яка симетрична точці А відносно прямої ВС. A(3;-3); B(3;2); C(5;3).

Answer 1

1) Рівняння прямої ВС:

Для знаходження рівняння прямої ВС, ми використовуємо формулу для знаходження рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки (x₁, y₁) і (x₂, y₂):

Рівняння прямої: y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) * (x - x₁)

У нашому випадку, точка В має координати B(3, 2), а точка С має координати C(5, 3). Тому ми можемо підставити ці значення в формулу:

Рівняння прямої ВС: y - 2 = ((3 - 2) / (5 - 3)) * (x - 3)

Після спрощення отримуємо:

Рівняння прямої ВС: y - 2 = (1 / 2) * (x - 3)

2) Рівняння прямої, яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС:

Щоб знайти рівняння прямої, яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС, ми використовуємо той самий нахил, що й у прямій ВС. Таким чином, нахил прямої ВС буде таким самим, як і нахил нової прямої.

Візьмемо нахил прямої ВС з попереднього пункту, який дорівнює 1/2. Знаючи, що точка А має координати А(3, -3), ми можемо використати формулу рівняння прямої, що проходить через точку (x₁, y₁) з нахилом m:

Рівняння прямої: y - y₁ = m * (x - x₁)

Підставляємо значення:

Рівняння прямої, яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС: y - (-3) = (1/2) * (x - 3)

Після спрощення отримуємо:

Рівняння прямої, яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС: y + 3 = (1/2) * (x - 3)

3) Кут ABC:

Щоб знайти кут ABC, ми можемо використовувати формулу кута між двома векторами:

Формула: cos(θ) = (AB · BC) / (||AB|| * ||BC||)

Де AB - вектор, що починається з точки A і закінчується в точці B, BC - вектор, що починається в точці B і закінчується в точці C, а ||AB|| і ||BC|| - довжини відповідних векторів.

Для початку, знайдемо вектори AB і BC, використовуючи координати точок A, B і C:

AB = (3 - 3, -3 - 2) = (0, -5) BC = (5 - 3, 3 - 2) = (2, 1)

Далі, знайдемо довжини векторів AB і BC:

||AB|| = sqrt(0² + (-5)²) = sqrt(25) = 5 ||BC|| = sqrt(2² + 1²) = sqrt(5)

Тепер, підставимо значення в формулу кута:

cos(θ) = ((0 * 2) + (-5 * 1)) / (5 * sqrt(5)) cos(θ) = (-5) / (5 * sqrt(5)) cos(θ) = -1 / sqrt(5)

Тепер, щоб знайти кут, ми використовуємо функцію оберненого косинуса (arccos) для виразу -1 / sqrt(5):

θ = arccos(-1 / sqrt(5))

Отримаємо значення кута в радіанах. Щоб перевести його в градуси, ми можемо використати формулу: градуси = радіани * (180 / π).

Таким чином, кут ABC дорівнює arccos(-1 / sqrt(5)) радіанів або (arccos(-1 / sqrt(5)) * (180 / π)) градусів.

4) Рівняння та довжина медіани в трикутнику АВС, яка проведена з вершини А:

Медіана трикутника - це відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

Для знаходження рівняння медіани, ми можемо використовувати формулу для знаходження середини відрізка:

Середина відрізка: (x, y) = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

У нашому випадку, вершина А має координати А(3, -3), а середина сторони ВС знаходиться між точками B(3, 2) і C(5, 3). Тому ми можемо підставити ці значення в формулу:

Середина відрізка ВС: (x, y) = ((3 + 5) / 2, (2 + 3) / 2) = (4, 2.5)

Отримали координати середини відрізка ВС, як (4, 2.5). Тепер, ми маємо дві точки - вершину А і середину відрізка ВС. Для знаходження рівняння медіани, ми можемо використовувати формулу рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

Підставляємо значення:

Рівняння медіани: y - (-3) = ((2.5 - (-3)) / (4 - 3)) * (x - 3)

Після спрощення отримуємо:

Рівняння медіани: y + 3 = (5.5) * (x - 3)

5) Рівняння та довжина висоти в трикутнику АВС, яка проведена з вершини А:

Висота трикутника - це перпендикулярний відрізок, який проведений з вершини трикутника до протилежної сторони.

Щоб знайти рівнян