Question

Укажіть числа , що є коренями рівняння: х4 - 2х 2 - 8 = 0

Answer 1

Відповідь: x=2; -2.

Покрокове пояснення:

х4-2х2-8=0;

Принимаем x^2 за t, тогда x^2=t, x^4=t^2;

t^2-2t-8=0

D=4-4*1*(-8)=36

t1=2+6/2=4;

t2=2-6/2=-2;

t2 - не берем, вить t $\geq$ 0

Отсюда x^2=4;

x=2;

x^4=16;

x=2;

Ответ: x=2; -2.

Answer 2

Отже, ми маємо рівняння \(x^4 - 2x^2 - 8 = 0\). Давайте введемо заміну, щоб спростити рівняння.

Позначимо \(y = x^2\), тоді ми отримаємо нове рівняння: \(y^2 - 2y - 8 = 0\).

Це квадратне рівняння, яке можна розв'язати за допомогою квадратного рівняння. Використаємо квадратне рівняння, щоб знайти значення \(y\):

\[y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}\] \[y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}\] \[y = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}\] \[y = \frac{2 \pm 6}{2}\]

Таким чином, ми отримуємо два значення \(y\):

1. \(y_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4\) 2. \(y_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2\)

Тепер, коли ми знаємо значення \(y\), повертаємось до підстановки \(y = x^2\), щоб знайти значення \(x\):

1. Для \(y_1 = 4\): \[x^2 = 4\] \[x = \sqrt{4}\] або \(x = -\sqrt{4}\) Отже, \(x_1 = 2\) або \(x_2 = -2\).

2. Для \(y_2 = -2\): Значення \(y\) не може бути від'ємним для квадрату, тому для \(y_2 = -2\) немає розв'язку у вигляді дійсних чисел.

Таким чином, коренями даного рівняння \(x^4 - 2x^2 - 8 = 0\) є \(x = 2\) та \(x = -2\).