Question

Задача: Тело движется со скоростью v(t)=(5t^2+2t-3)(м/с).Определите путь за время от 2 до 5 секунды.

Answer 1

Відповідь:

37 м

Покрокове пояснення:

Нам треба знайти шлях, яке пройшло тіло за проміжок часу від 2 сек до 5 сек.

Рішення: знайдемо швидкість  в другу секунду: V(t2)=5*2²+2*2-3=21m/c

далы в 5 сек.V(t5)=5*5²+2*5-3=132m/c

В інтервалі з 2до 5сек тіло рухалося з швидкістю ΔV=V5-V2=132-21=111m/c     а Δt=5-2=3сек        тоді шлях S в інтевалі(2-5) буде ΔV/Δt=111/3=37(m)

Answer 2

Для определения пути, пройденного телом за определенный интервал времени, нужно проинтегрировать выражение для скорости относительно времени. Дано, что \(v(t) = 5t^2 + 2t - 3 \) м/с.

Интегрируем это выражение для получения функции пути \(s(t)\). Интегрирование скорости дает путь:

\[ s(t) = \int v(t) \,dt = \int (5t^2 + 2t - 3) \,dt \]

Вычислим этот интеграл:

\[ s(t) = \frac{5}{3}t^3 + t^2 - 3t + C \]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы определить путь за определенный интервал времени, подставим верхний и нижний пределы интегрирования (в данном случае, от 2 до 5 секунд):

\[ \text{Путь} = s(5) - s(2) \]

\[ \text{Путь} = \left(\frac{5}{3}(5)^3 + (5)^2 - 3(5) + C\right) - \left(\frac{5}{3}(2)^3 + (2)^2 - 3(2) + C\right) \]

\[ \text{Путь} = \left(\frac{5}{3}(125) + 25 - 15 + C\right) - \left(\frac{5}{3}(8) + 4 - 6 + C\right) \]

\[ \text{Путь} = \left(\frac{625}{3} + 10\right) - \left(\frac{40}{3} - 2\right) \]

\[ \text{Путь} = \frac{585}{3} + 12 \]

\[ \text{Путь} = 195 + 12 \]

\[ \text{Путь} = 207 \, \text{м} \]

Таким образом, тело пройдет путь в 207 метра за временной интервал от 2 до 5 секунд.