Question

Выпишите уравнения касательной к графикам функций f(x) g(x) будут параллельны 1)f(x)=3x²-5x+4 2)f(x)=8x+9 3)f(x)=x³-8 4)f(x)=x³-8 5)f(x)=x³+x²

Answer 1

Чтобы уравнение касательной к графику функции было параллельным данной функции, их производные должны быть пропорциональны. Это означает, что угловой коэффициент (наклон) касательной к обеим функциям должен быть одинаковым.

Обозначим производные функций f(x) и g(x) через f'(x) и g'(x) соответственно.

1. \( f(x) = 3x^2 - 5x + 4 \) \[ f'(x) = 6x - 5 \]

2. \( f(x) = 8x + 9 \) \[ f'(x) = 8 \]

3. \( f(x) = x^3 - 8 \) \[ f'(x) = 3x^2 \]

4. \( f(x) = x^3 + x^2 \) \[ f'(x) = 3x^2 + 2x \]

Теперь у нас есть производные для каждой из функций. Для того чтобы касательные были параллельными, их угловые коэффициенты должны быть равны. Таким образом, мы можем написать уравнения касательных для каждой из функций:

1. \( f(x) = 3x^2 - 5x + 4 \): Уравнение касательной будет иметь вид \( y = (6x - 5)x_0 + b_0 \), где \( b_0 \) - значение функции в точке касания \( x_0 \).

2. \( f(x) = 8x + 9 \): Уравнение касательной будет иметь вид \( y = 8x + b_1 \), где \( b_1 \) - значение функции в точке касания.

3. \( f(x) = x^3 - 8 \): Уравнение касательной будет иметь вид \( y = 3x_0^2(x - x_0) + b_2 \), где \( b_2 \) - значение функции в точке касания \( x_0 \).

4. \( f(x) = x^3 + x^2 \): Уравнение касательной будет иметь вид \( y = (3x_0^2 + 2x_0)(x - x_0) + b_3 \), где \( b_3 \) - значение функции в точке касания \( x_0 \).

Выберем, например, \( f(x) = 3x^2 - 5x + 4 \) и \( g(x) = x^3 + x^2 \). Для параллельности касательных необходимо, чтобы их угловые коэффициенты были равными:

\[ 6x - 5 = 3x_0^2 + 2x_0 \]

Это уравнение определяет точку \( x_0 \). Подставив ее значение в уравнение касательной для \( f(x) \), мы можем найти уравнение касательной к \( g(x) \), параллельной касательной к \( f(x) \).

Пожалуйста, уточните, если вы хотите конкретное решение для одной из пар функций.

Answer 2

Касательная к графику функции в точке имеет наклон, который равен производной функции в этой точке. Если две функции имеют параллельные касательные в одной и той же точке, это означает, что их производные в этой точке равны.

Давайте найдем производные для каждой из функций:

1. \( f(x) = 3x^2 - 5x + 4 \) Производная: \( f'(x) = 6x - 5 \)

2. \( f(x) = 8x + 9 \) Производная: \( f'(x) = 8 \)

3. \( f(x) = x^3 - 8 \) Производная: \( f'(x) = 3x^2 \)

4. \( f(x) = x^3 - 8 \) Производная: \( f'(x) = 3x^2 \)

5. \( f(x) = x^3 + x^2 \) Производная: \( f'(x) = 3x^2 + 2x \)

Теперь, чтобы уравнения касательных были параллельными, нужно, чтобы их производные были равны в некоторой точке. Таким образом, уравнения касательных для двух функций будут параллельными, если и только если их производные в этой точке равны.

Выберем точку \( x_0 \) и приравняем производные:

1. \( 6x_0 - 5 = 8 \) (для \( f(x) = 3x^2 - 5x + 4 \)) 2. \( 6x_0 - 5 = 8 \) (для \( f(x) = 8x + 9 \)) 3. \( 3x_0^2 = 8 \) (для \( f(x) = x^3 - 8 \)) 4. \( 3x_0^2 = 8 \) (для \( f(x) = x^3 - 8 \)) 5. \( 3x_0^2 + 2x_0 = 8 \) (для \( f(x) = x^3 + x^2 \))

Решая эти уравнения, вы найдете значения \( x_0 \) и затем сможете подставить их обратно в уравнения исходных функций, чтобы получить соответствующие значения \( y_0 \). Таким образом, у вас будут уравнения касательных, параллельных графикам данных функций в выбранных точках.