Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x²–4x–1 На данном промежутке [-3;1] [‐1;7]

Answer 1

найдем производную

2х-4, найдем критические точки. 2х-4=0, х=2- принадлежит только второму отрезку. поэтому

а) для первого отрезка проверяем значения функции только на концах отрезка

у(-3)=9+12-1=20- наибольшее значение

у(1)=1-4-1=-4 - наименьшее значение.

б) для второго отрезка

у(-1)=1+4-1=4

у(2)=4-8-1=-5- наименьшее значение

у(7)=49-28-1=20 - наибольшее значение

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(y = x^2 - 4x - 1\) на заданных промежутках \([-3; 1]\) и \([-1; 7]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем критические точки функции, где производная равна нулю или не существует. 2. Проверим значения функции в найденных критических точках и на концах заданных промежутков.

1. Найдем критические точки:

Вычислим производную функции \(y = x^2 - 4x - 1\): \[y' = 2x - 4\]

Теперь найдем значения \(x\), при которых \(y' = 0\): \[2x - 4 = 0\]

Решая уравнение, получим: \[2x = 4 \implies x = 2\]

Таким образом, критическая точка \(x = 2\).

2. Проверим значения функции в найденных точках и на концах промежутков:

Промежуток \([-3; 1]\):

- Подставим \(x = -3\), \(x = 1\) и \(x = 2\) в функцию и найдем соответствующие значения \(y\): - Для \(x = -3\): \(y = (-3)^2 - 4(-3) - 1 = 9 + 12 - 1 = 20\) - Для \(x = 1\): \(y = (1)^2 - 4(1) - 1 = 1 - 4 - 1 = -4\) - Для \(x = 2\): \(y = (2)^2 - 4(2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5\)

Таким образом, на промежутке \([-3; 1]\) максимальное значение функции \(y\) равно 20 (в точке \(x = -3\)), а минимальное значение равно -5 (в точке \(x = 2\)).

Промежуток \([-1; 7]\):

- Подставим \(x = -1\), \(x = 7\) и \(x = 2\) в функцию и найдем соответствующие значения \(y\): - Для \(x = -1\): \(y = (-1)^2 - 4(-1) - 1 = 1 + 4 - 1 = 4\) - Для \(x = 7\): \(y = (7)^2 - 4(7) - 1 = 49 - 28 - 1 = 20\) - Для \(x = 2\): Ранее мы уже вычислили \(y = -5\) для \(x = 2\).

Таким образом, на промежутке \([-1; 7]\) максимальное значение функции \(y\) равно 20 (в точке \(x = 7\)), а минимальное значение равно -5 (в точке \(x = 2\)).

Итак, на промежутке \([-3; 1]\) минимальное значение функции равно -5, а максимальное значение равно 20. На промежутке \([-1; 7]\) минимальное значение функции равно -5, а максимальное значение равно 20.