Question

Дослідити функцію f(x) = x ^ 3 - x ^ 2 та побудувати її графік.​

Answer 1

Звісно, давайте розглянемо функцію \( f(x) = x^3 - x^2 \) та побудуємо її графік. Щоб зрозуміти, як функція працює та як вона змінюється, ми можемо вивчити основні елементи, такі як нулі функції, точки перегину та межі, а також побудувати графік.

Знаходження нулів функції:

Нулі функції визначаються, коли \( f(x) = 0 \). Таким чином, \[ x^3 - x^2 = 0 \]

Факторизуємо спільний член \( x^2 \): \[ x^2(x - 1) = 0 \]

Отримуємо дві можливі точки, де функція обертається у нуль: \( x = 0 \) та \( x = 1 \).

Знаходження точок перегину:

Для знаходження точок перегину потрібно знайти другу похідну та прирівняти її до нуля.

\[ f(x) = x^3 - x^2 \]

\[ f'(x) = 3x^2 - 2x \]

\[ f''(x) = 6x - 2 \]

Тепер прирівняємо \( f''(x) \) до нуля та розв'яжемо рівняння: \[ 6x - 2 = 0 \] \[ 6x = 2 \] \[ x = \frac{1}{3} \]

Отже, точка перегину знаходиться при \( x = \frac{1}{3} \).

Знаходження меж функції:

Ми можемо визначити межі функції, вивчивши її поведінку на нескінченності. Оскільки \( f(x) \) - поліном третього ступеня, функція буде зростати або спадати нескінченностями, залежно від знаку коефіцієнта при \( x^3 \).

Побудова графіку:

Зібравши всю цю інформацію, ми можемо побудувати графік функції \( f(x) = x^3 - x^2 \). Якщо використовувати програми для побудови графіків, наприклад, Python з бібліотекою Matplotlib, або онлайн-інструменти, то можна легко відобразити графік цієї функції.

У Python, код для побудови графіка виглядатиме приблизно так:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Визначення функції
def f(x):
    return x3 - x2

# Генерація значень x в діапазоні
x_values = np.linspace(-2, 2, 400)
y_values = f(x_values)

# Побудова графіка
plt.plot(x_values, y_values, label='$f(x) = x^3 - x^2$')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.scatter([0, 1], [0, 0], color='red')  # Нулі функції
plt.scatter([1/3], [f(1/3)], color='blue')  # Точка перегину
plt.legend()
plt.title('Графік функції $f(x) = x^3 - x^2$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.show()

Цей код генерує графік функції, позначаючи нулі та точку перегину.