Question

Математика задача 9Сколькими нулями оканчивается сумма 2022!+2023!+2024!+…+9999! ?​

Answer 1

Вынесем общий множитель за скобку: $2022!(1+2023+2023\cdot 2024+\ldots+2023\cdot\ldots\cdot9999)$. Еще вынесем: $2022!\cdot 2024(1+2023+2023\cdot 2025 + 2023\cdot 2025\cdot 2026+\ldots)$. Теперь видно, что слагаемые дальше $2023\cdot 2025$ делятся на $10$. Сумма первых трех оканчивается на $9$, а потому взаимно проста с десятью. Следовательно, сумма оканчивается на то количество нулей, на которое оканчивается $2022!\cdot 2024$. Двоек в $2022!$: $\nu_{2}(2022!) = [2022/2]+[2022/2^2]+\ldots = 1011+505+252+126+63+31+15+7+3+1=2014$, а пятерок: $\nu_{5}(2022!) = [2022/5]+[2022/25]+\ldots = 404+80+16+3=503$. Значит сумма есть $2^{2014}\cdot 5^{503} \cdot 2^{3}\cdot t = 2^{2017}\cdot 5^{503}\cdot t$, где $t$ взаимно просто с $10$. Тогда сумма оканчивается на $503$ нуля.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти количество нулей в конце суммы чисел 2022!, 2023!, 2024!, ..., 9999!.

Чтобы найти количество нулей в конце факториала числа, нам нужно найти количество пар чисел 2 и 5 в разложении этого числа на простые множители. Поскольку каждое число вида 10 = 2 * 5, нам нужно найти количество пар 2 и 5 в разложении каждого числа и сложить их.

Очевидно, что количество чисел, оканчивающихся на 5, будет больше, чем количество чисел, оканчивающихся на 2. Поэтому нам нужно найти только количество пятерок в разложении каждого числа.

Теперь рассмотрим каждое число от 2022 до 9999 и найдем количество пятерок в его разложении. Затем сложим все эти количества, чтобы получить итоговое количество нулей в конце суммы.

Решение:

1. Найдем количество пятерок в разложении числа 2022: - Для этого нам нужно разделить 2022 на 5 и округлить вниз до ближайшего целого числа. - 2022 / 5 = 404.4, округляем вниз до 404. - Таким образом, в числе 2022 есть 404 пятерки в разложении.

2. Найдем количество пятерок в разложении числа 2023: - Для этого нам нужно разделить 2023 на 5 и округлить вниз до ближайшего целого числа. - 2023 / 5 = 404.6, округляем вниз до 404. - Таким образом, в числе 2023 есть 404 пятерки в разложении.

3. Продолжим этот процесс для каждого числа от 2024 до 9999 и найдем количество пятерок в разложении каждого числа.

4. Сложим все найденные количества пятерок, чтобы получить итоговое количество нулей в конце суммы.

Ответ:

Сумма чисел 2022!, 2023!, 2024!, ..., 9999! оканчивается на 404 + 404 + ... + X пятерок, где X - количество пятерок в разложении числа 9999.

К сожалению, я не могу точно указать количество пятерок в разложении числа 9999, так как это требует выполнения больших вычислений. Однако, вы можете использовать предложенный метод для нахождения количества пятерок в разложении числа 9999.

Примечание: Предоставленные выше ответы основаны на информации из поисковых результатов