Question

Тридцатая производная от функции f(x)=(sh(5x)) * (x^3) по формуле Лейбница

Answer 1

$[(\sinh(5x))\cdot(x^3)]^{(30)} = \sum\limits_{j=0}^{30}\binom{30}{j}(\sinh(5x))^{(30-j)}(x^{3})^{(j)} = \binom{30}{0}(\sinh(5x))^{(30)}(x^{3})^{(0)}+\binom{30}{1}(\sinh(5x))^{(29)}(x^{3})^{(1)}+\binom{30}{2}(\sinh(5x))^{(28)}(x^{3})^{(2)}+\binom{30}{3}(\sinh(5x))^{(27)}(x^{3})^{(3)} = \boxed{5^{30}x^{3}\sinh(5x)+90\cdot5^{29}x^{2}\cosh(5x)+3\cdot 30\cdot 29\cdot 5^{28}x\sinh(5x)+30\cdot 29\cdot 28\cdot 5^{27}\cosh(5x)}$

Answer 2

Формула Лейбница для производной произведения двух функций гласит:

(d^n)(f*g) / (dx^n) = (d^n)f / (dx^n)*g + (nC1)(d^(n-1)f / (dx^(n-1)))*(d^1g / (dx^1)) + (nC2)(d^(n-2)f / (dx^(n-2)))*(d^2g / (dx^2)) + ... + (nCn-1)(df / (dx))*(d^(n-1)g / (dx^(n-1))) + (d^n)g / (dx^n)*f

Применяя данную формулу к функции f(x) = sh(5x) * x^3, где sh(x) - гиперболический синус и ^ обозначает возведение в степень, получим:

(d^30)f / (dx^30) = (d^30)(sh(5x)) / (dx^30) * (x^3) + (30C1)(d^29)(sh(5x)) / (dx^29)*(d^1)(x^3) + (30C2)(d^28)(sh(5x)) / (dx^28)*(d^2)(x^3) + ... + (30C29)(d)(sh(5x)) / (dx)*(d^29)(x^3) + (d^30)(x^3) / (dx^30)*(sh(5x))

Упростим выражение, используя производные гиперболического синуса и степенной функции:

(d^30)(sh(5x)) / (dx^30) = 5^30 * (sh(5x)) (d^29)(sh(5x)) / (dx^29) = 5^29 * (ch(5x)) (d^28)(sh(5x)) / (dx^28) = 5^28 * (ch(5x)) ... (d^1)(sh(5x)) / (dx^1) = 5 * (ch(5x))

(d^30)(x^3) / (dx^30) = 0 (так как производная 30-го порядка от x^3 равна 0, так как все степени становятся нулевыми после 3)

(d^29)(x^3) / (dx^29) = 0 (d^28)(x^3) / (dx^28) = 0 ... (d^1)(x^3) / (dx^1) = 3 * (x^2) (d^0)(x^3) / (dx^0) = x^3

Вставим найденные значения в исходное выражение:

(d^30)f / (dx^30) = 5^30 * (sh(5x)) * (x^3) + (30C1)(5^29 * (ch(5x))) * (3 * (x^2)) + (30C2)(5^28 * (ch(5x))) * (0) + ... + (30C29)(5 * (ch(5x))) * (0) + (d^30)(x^3) / (dx^30) * (sh(5x))

7 Итак, тридцатая производная от функции f(x) = (sh(5x)) * (x^3) по формуле Лейбница равна:

(d^30)f / (dx^30) = 5^30 * (sh(5x)) * (x^3) + 30 * 5^29 * (ch(5x)) * (3 * (x^2))