Question

Найдите наименьшее значение функцииy=3+√4x²+12x+10​

Answer 1

Ответ:

прикрепляю внизу.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = 3√(4x² + 12x + 10), нам нужно найти минимум этой функции. Для этого можно воспользоваться методом дифференцирования.

Дифференцирование функции

Для начала, возьмем производную функции y по переменной x. Для этого применим правило дифференцирования для функции с корнем и составной функции:

y = 3√(4x² + 12x + 10)

Для удобства, представим функцию в виде степенной функции:

y = 3(4x² + 12x + 10)^(1/2)

Теперь дифференцируем функцию y:

y' = 3 * (1/2) * (4x² + 12x + 10)^(-1/2) * (8x + 12)

y' = 12x + 18 / (4x² + 12x + 10)^(1/2)

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки функции, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

12x + 18 / (4x² + 12x + 10)^(1/2) = 0

12x = -18 / (4x² + 12x + 10)^(1/2)

Умножим обе части уравнения на (4x² + 12x + 10)^(1/2):

12x * (4x² + 12x + 10)^(1/2) = -18

Умножим обе части уравнения на (4x² + 12x + 10):

12x * (4x² + 12x + 10) = -18 * (4x² + 12x + 10)

Раскроем скобки:

48x³ + 144x² + 120x = -72x² - 216x - 180

48x³ + 216x² + 336x + 180 = 0

Это кубическое уравнение, которое можно попытаться решить аналитически, но процесс может быть сложным и трудоемким. Однако, мы можем найти приближенное значение наименьшей точки, используя численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления.

Пример численного решения

Давайте решим это уравнение численным методом половинного деления. Для этого нужно выбрать начальный интервал, в котором находится корень, а затем последовательно делить этот интервал пополам, пока не достигнем достаточной точности.

Возьмем интервал [-10, 10] и применим метод половинного деления:

1. Найдем середину интервала:

x₁ = (a + b) / 2 = (-10 + 10) / 2 = 0

2. Вычислим значение функции в точке x₁:

y₁ = 3√(4(0)² + 12(0) + 10) = 3√10 ≈ 5.24

3. Проверим условие окончания метода. Если значение функции близко к нулю, остановимся. В противном случае, выберем новый интервал и повторим шаги 1-3:

Если |y₁| < ε (где ε - некоторая малая величина), остановимся.

4. Если |y₁| ≥ ε, выберем новый интервал, в котором знак функции изменяется, и повторим шаги 1-3:

Если y₁ > 0, выберем интервал [a, x₁] для следующей итерации. Если y₁ < 0, выберем интервал [x₁, b] для следующей итерации.

Продолжим делить интервал пополам до тех пор, пока не достигнем требуемой точности. Как только получим достаточно точное приближенное значение x, подставим его в исходную функцию y = 3√(4x² + 12x + 10), чтобы найти значение y.

Итак, наименьшее значение функции y = 3√(4x² + 12x + 10) может быть найдено с помощью численных методов, таких как метод половинного деления или метод Ньютона.