Question

Используя метод вспомогательного аргумента решите уравнение sinx+√3cosx=2​

Answer 1

Ответ:

вот ......................

Answer 2

Чтобы решить уравнение \( \sin(x) + \sqrt{3} \cos(x) = 2 \) с использованием метода вспомогательного аргумента, давайте представим его в виде произведения синуса и косинуса.

Уравнение имеет вид: \[ \sin(x) + \sqrt{3} \cos(x) = 2 \]

Перепишем это уравнение с использованием тригонометрической формулы \( \sin(x + \alpha) = \sin(x) \cos(\alpha) + \cos(x) \sin(\alpha) \), где \(\alpha\) - вспомогательный аргумент:

\[ \sin(x + \alpha) = 2 \]

Сравним полученное уравнение с тригонометрической формулой: \[ \sin(x + \alpha) = \sin(x) \cos(\alpha) + \cos(x) \sin(\alpha) \]

Сравнивая коэффициенты при \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\), получаем:

\[ \cos(\alpha) = \sqrt{3} \] \[ \sin(\alpha) = 1 \]

Теперь найдем значение \(\alpha\). Так как \(\sin(\alpha) = 1\), то \(\alpha = \frac{\pi}{2}\).

Теперь, мы можем записать решение в виде: \[ \sin(x + \frac{\pi}{2}) = 2 \]

Это уравнение равносильно: \[ x + \frac{\pi}{2} = \arcsin(2) \]

Таким образом, решение уравнения: \[ x = \arcsin(2) - \frac{\pi}{2} \]

Не забывайте, что арксинус принимает значения только в интервале [-1, 1], поэтому уравнение может не иметь действительных корней. В данном случае \(\arcsin(2)\) выходит за пределы этого интервала, и уравнение не имеет решений в действительных числах.