Question

Натуральное число назовём семишным, если все его цифры - различны, сумма любых четырёх его подряд идущих цифр делится на 7, а само чиспо при этом имеет максимально возможное количество цифр. Сколько существует семишных чисел?

Answer 1

Ответ:

10 чисел

Пошаговое объяснение:

Эти числа посчитать недолго, нужно только сообразить, как: цифры через три должны отличаться на 7, то есть - пары "0" и "7", "1" и "8", "2" и "9"

Для делимости на 7 в середину добавим "6".

получается (расставляем сначала в одну сторону):

0126789

0216798

1206897

1026879

2106987

2016978

затем расставляем в другую сторону:

7896012

7986021

8976120

8796102

9876210

9786201

получилось 12 чисел, и отбрасываем те, которые начинаются с нуля, получилось 10

Answer 2

Чтобы решить данную задачу, рассмотрим следующие моменты:

1. Максимально возможное количество цифр в числе зависит от диапазона цифр, которые могут принимать значения в данной задаче. Поскольку цифры должны быть различными, предположим, что диапазон цифр состоит из цифр от 0 до 9. Тогда максимальное количество цифр в числе будет равно 10.

2. Для того чтобы сумма любых четырех подряд идущих цифр была кратной 7, воспользуемся так называемым "правилом делимости на 7". В соответствии с этим правилом, сумма цифр, умноженная на (-2)^количество цифр - остаток от деления этого выражения на 7 должен быть равен нулю. То есть:

(сумма цифр) * (-2)^количество цифр ≡ 0 (mod 7),

где ≡ обозначает "сравнимо по модулю", а mod 7 указывает на то, что нужно сравнивать по остаткам от деления на 7.

3. Таким образом, для одного семишного числа количество цифр может быть равно от 1 до 10, а сумма цифр должна быть такой, чтобы выражение (сумма цифр) * (-2)^количество цифр было кратно 7.

4. Для нахождения количества семишных чисел можно перебрать все возможные комбинации количества цифр и суммы цифр, удовлетворяющие условиям из пунктов 1-3, и подсчитать количество вариантов для каждого случая.

5. Применяя описанный выше алгоритм, можно вычислить количество семишных чисел. Однако, данный процесс достаточно трудоемкий для ручного решения, поэтому рекомендуется использовать компьютерные программы или алгоритмы для ускорения расчетов.