Question

Вычислить предел функции: 27-x³/x²-9 lim x-3

Answer 1

Ответ:

$\lim_{x \to 3} \frac{27-x^3}{x^2-9}=-\frac{9}{2}$

Пошаговое объяснение:

Сначала подставляем число, к которому стремится х (т.е. 3) в функцию. Производим вычисления. Получаем неопределенность: ноль деленный на ноль. Чтобы раскрыть эту неопределенность, нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель.

Числитель раскладываем на множители по формуле разности кубов, знаменатель - по формуле разности квадратов.

Сокращаем.

В полученную функцию подставляем 3. Производим вычисления. Получаем число, которое является пределом.

$\lim_{x \to 3} \frac{27-x^3}{x^2-9}=[\frac{0}{0} ]=\lim_{x \to 3} \frac{(3-x)(9+3x+x^2)}{(x-3)(x+3)}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to 3} \frac{(3-x)(9+3x+x^2)}{-(3-x)(x+3)}=\lim_{x \to 3} \frac{9+3x+x^2}{-x-3}=\frac{9+3*3+9}{-3-3}=\frac{27}{-6}=-\frac{9}{2}$

Answer 2

Чтобы вычислить предел функции \( \frac{27 - x^3}{x^2 - 9} \) при \( x \to 3 \), нужно подставить значение \( x = 3 \) в выражение. Однако, если подставить просто \( x = 3 \), знаменатель обратится в ноль, что приведет к неопределенности. Поэтому мы можем попытаться упростить выражение.

Для начала разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: \( 27 - x^3 = (3 - x)(9 + 3x + x^2) \) Знаменатель: \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное:

\[ \lim_{{x \to 3}} \frac{27 - x^3}{x^2 - 9} = \lim_{{x \to 3}} \frac{(3 - x)(9 + 3x + x^2)}{(x - 3)(x + 3)} \]

Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе есть множители \( (x - 3) \), которые сократятся, и мы сможем вычислить предел без неопределенности:

\[ \lim_{{x \to 3}} \frac{(3 - x)(9 + 3x + x^2)}{(x - 3)(x + 3)} = \lim_{{x \to 3}} \frac{9 + 3x + x^2}{x + 3} \]

Теперь подставим \( x = 3 \):

\[ \frac{9 + 3 \cdot 3 + 3^2}{3 + 3} = \frac{9 + 9 + 9}{6} = \frac{27}{6} = 4.5 \]

Таким образом, предел функции \( \frac{27 - x^3}{x^2 - 9} \) при \( x \to 3 \) равен 4.5.