Question

На плоскости x - 2y + 4z - 28 = 0 найти такую точку M_{0}(x_{0}; y_{0}; z_{0}) для которой сумма длин до точек M_{1}(4; 2; 1 ) и M_{2}(- 1; 1; 1) приобретала наименьшее значение.

Answer 1

Для решения этой задачи нам нужно найти точку M₀(x₀; y₀; z₀), для которой сумма длин до точек M₁(4; 2; 1) и M₂(-1; 1; 1) приобретает наименьшее значение.

Сначала определим уравнение плоскости, заданной уравнением x - 2y + 4z - 28 = 0. Это уравнение можно представить в виде:

x - 2y + 4z = 28.

Теперь, чтобы найти точку M₀, рассмотрим сумму квадратов расстояний от M₀ до M₁ и от M₀ до M₂ и найдем ее минимум. Расстояние между двумя точками (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) в трехмерном пространстве можно выразить формулой:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²).

Таким образом, сумма квадратов расстояний от M₀ до M₁ и M₂ будет равна:

D = (x₀ - 4)² + (y₀ - 2)² + (z₀ - 1)² + (x₀ + 1)² + (y₀ - 1)² + (z₀ - 1)².

Теперь найдем частные производные D по x₀, y₀ и z₀ и приравняем их к нулю, чтобы найти точку минимума:

dD/dx₀ = 2(x₀ - 4) + 2(x₀ + 1) = 4x₀ - 8 + 2x₀ + 2 = 6x₀ - 6 = 0,

dD/dy₀ = 2(y₀ - 2) + 2(y₀ - 1) = 4y₀ - 4 + 2y₀ - 2 = 6y₀ - 6 = 0,

dD/dz₀ = 2(z₀ - 1) + 2(z₀ - 1) = 4z₀ - 4 = 0.

Решив эти уравнения, найдем значения x₀, y₀ и z₀. Решениями будут:

x₀ = 1, y₀ = 1, z₀ = 1.

Таким образом, точка M₀(1; 1; 1) является точкой, для которой сумма длин до точек M₁(4; 2; 1) и M₂(-1; 1; 1) приобретает наименьшее значение.