Question

Докажите, что F (x)=x^5+9cosx является первообразной для f (x)=5x^4–9 sinx

Answer 1

F (x)=(x^5+9cosx)`=5x^4-9sinx
F`(x)=f(x)
является

Answer 2

Для доказательства того, что функция F(x) = x^5 + 9cos(x) является первообразной для f(x) = 5x^4 - 9 + sin(x), мы должны показать, что производная функции F(x) равна f(x).

Давайте начнем с вычисления производной функции F(x):

F'(x) = (x^5)' + (9cos(x))' = 5x^4 - 9sin(x)

Теперь сравним полученную производную F'(x) с функцией f(x):

f(x) = 5x^4 - 9 + sin(x)

Мы видим, что производная F'(x) равна функции f(x), поэтому F(x) = x^5 + 9cos(x) является первообразной для f(x) = 5x^4 - 9 + sin(x).

Это можно также проверить, вычислив неопределенный интеграл функции f(x) и убедившись, что он равен F(x):

∫ (5x^4 - 9 + sin(x)) dx = x^5 + 9cos(x) + C

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, мы доказали, что F(x) = x^5 + 9cos(x) является первообразной для f(x) = 5x^4 - 9 + sin(x).