Question

Решить дифф-е уравнение ( с подробным решением) (xdy)= ydx, если y=6 при x=2

Answer 1

Ответ: у=3х

Пошаговое объяснение:(xdy)= ydx, если y=6 при x=2

xdy= ydx

dy/y = dx/x

∫dy/y=∫dx/x

lny= lnx+lnC

lny=ln(Cx)

y=Cx

найдём С из условия:  y=6 при x=2, т.е. 6=С·2 ⇒ С=6:2=3, тогда

у=3х

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения \(xdy = ydx\) с начальным условием \(y=6\) при \(x=2\), мы можем использовать метод разделения переменных.

Данное уравнение можно переписать в виде:

\(\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}\).

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

\(\int \frac{1}{y} \,dy = \int \frac{1}{x} \,dx\).

Интегрируя, получим:

\(\ln|y| = \ln|x| + C\),

где \(C\) - постоянная интеграции.

Теперь применим начальное условие \(y=6\) при \(x=2\):

\(\ln|6| = \ln|2| + C\).

Теперь найдем значение \(C\):

\(\ln(6) = \ln(2) + C\).

Выразим \(C\):

\(C = \ln(6) - \ln(2) = \ln\left(\frac{6}{2}\right) = \ln(3)\).

Таким образом, у нас есть новая константа \(\ln(3)\), и мы можем записать окончательное решение:

\(\ln|y| = \ln|x| + \ln(3)\).

Применим свойство логарифмов: \(\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)\):

\(\ln|y| = \ln(3x)\).

Теперь применим экспоненту к обеим сторонам уравнения:

\(y = 3x\).

Итак, решение дифференциального уравнения \(xdy = ydx\) с начальным условием \(y=6\) при \(x=2\) - это \(y = 3x\).